1923. No. TI. ÜBKR OIE FINHFITEN I.V REINEN KL'HISCHFN ZAHLKÖRPERN. 7 



auch für k --= 1 . falls r/" von 2 und 5 verschieden ist. In diesem Falle 

 wäre also die rechte Seite von (4) durch q teilbar, was unmöglich ist, da 

 cD.y und Z^i teilerfremd sind. Folglich muß y" = 2 oder = 5 sein, d. h. 

 für Z>i bestehen nur die Möglichkeiten D^ = 2, =5 oder = 10. 



Da D^ und Z)., teilerfremd sind, bleiben nur die zwei Möglichkeiten 

 zurück: Dj = 5 und Z>., = 2 oder Z)., = 4. Wenn Z>., = 4 ist, folgt aus (2): 



^"-■-r3-)^^-ra-')^'-- =«■ 



oder modulo 3 : 



,'3//— 1\ /3;/— 1. 

 1+1 , |-[ 1+ = (mod. 3). 



In meiner oben erwähnten Arbeit habe ich aber, S. 6, bewiesen, dafa 

 diese Kongruenz unmöglich ist. 



Wenn D., = 2 ist, folgt aus (41: 



n—l /_ _N _fc ^n-k 



3//— 2\5-2 v-^ k 3ii—2\ 5-2 



k 2 



-S' 



4-5 ^^ V 3/t /13/' + 1) (3/^ -r 2) 



oder 



(« — 2) (9;/- — 9« 4- 8) = V(_ 1 



k>2 



u ( 3;/ —2 5-2^ 



34- /(3/(' - II (3/^ -J- 2) 



Diese Gleichung ist erfüllt für ;/ — 2. Wenn ;/ ^ 2 ist, ergibt sich 

 durch Division mit >i — 2 : 



9/1- — 9,1 + 8=^ 



_V. fc 3(3//— 51(3;/ — 4M3// — 3)(3;/ — 21- 5''-2^~*'" /3// — tY 



~ ^ (3/^ — 4l(3/(' — 31(3/^— 2l(3/('— l)3k{3k^ l){3k + 2)' \3k — 5' 



Hier ist der Zähler des allgemeinen Gliedes der Summe wenigstens durch 

 5 teilbar. Die höchste Potenz von 5, die im Nenner 



(3/^ — 4M3/(' — 3) {3k — 21(3/^— \)3k\3/c + \){3k + 21 



aufgeht, ist aber ^ 5 {3k -r 21. Nun ist. für ^ ^ 3, S*" > 5 {3k + 2) ; und 

 für k — 2 ist der Nenner nur durch 5 teilbar. Die Summe ist mithin 

 durch 5 teilbar. Dies ist aber unmöglich, denn die linke Seite, die Zahl 



-> / 3\- 23 



9h- — 9;/ + 8 = 3;/ — - ^ — 



ist nicht durch 5 teilbar. 



Der Hilfssatz II ist somit bewiesen. 



