1923- No. II. ÜBER DIE EINHEITEN IN REINEN KIBISCHEN ZAHI.KÖRPERN. 



folfft 



fx - M' -=-(!+ ^'t + ^"q^, 

 tf 



gx - 3: =j^i + s o + ^" 0-). 



Wegen (Il folgt hieraus 



a:!<1 + 2|v,y'|, 



(3) 



l/v+3>.l<-(l --2\],j'\), 

 \gx^3z j<i(l ^2h7|). 



In beiden Fällen ist die Fundamentaleinheit durch diese Ungleichungen 

 vollständig bestimmt. 



Für das folgende ist es notwendig eine Reihe von Spezialfällen zu 

 untersuchen ; wir wollen für die folgenden Werte 



D = 2, 3, 4. 7, 9. 10, 17. 19, 20, 26. 28, 35, 37 



die Fundamentaleinheit und die sämtlichen Einheiten von der Form c + ad 

 bestimmen. 



1 1 Es sei Z) = 2. Dann ist // = « — I eine Einheit und 1 > »; > 0.259. 



Also wird H '/| <C 1»5 und nach (2) JArl <C 2 und |^i <C 1 » oder z — 

 und .V = + 1 , was .v = — 1 und v = 1 gibt. Folglich ist )] die Funda- 

 mentaleinheit ; und nach dem Hilfssatze I gibt es dann keine andere Einheit 

 von der Form c + ad und keine Einheit von der Form c + ad. 



2) Es sei D = 3. Dann ist >/ = Ö — 2 eine Einheit und 1 > j/ > 0.08. 

 Also wird |V'/|<C2, und nach (2) |a:|<C2 und ' zl <Z l, oder x= + 1 

 und -i = 0, was unmöglich ist. Folglich ist )j die Fundamentaleinheit; und 

 nach dem Hilfssatze I gibt es dann keine andere Einheit von der Form 

 c + ad und keine Einheit von der Form c + ad. 



31 Es sei D = 1. Dann ist 1] = 2 — d eine Einheit und 1 >>/> 0.088. 

 Also wird |V7l<2 und nach (2) |Ar|<2 und \z\<\, oder .v = + 1 

 und 5 — , was unmöglich ist. Folglich ist /; die Fundamentaleinheit ; und 

 nach dem Hilfssatze I gibt es dann keine andere Einheit von der Form 

 c + ad. 



4) Es sei Z) = 1 7. Dann ist >/ = 1 8 — 7 Ö eine Einheit und 1 > »y > 0,00 1 . 

 Also wird h7l < 6 und nach (3) |x|<13 und |a: + 3^|<2. Wegen 

 A-^ = 27 oder .v=3 (mod. 17) folgt hieraus a: = 3 und daher, weil x + 3z 

 durch 3 teilbar ist. .v -1- 3; == ; dies ist aber unmöglich. Folglich ist 1] die 

 Fundamentaleinheit ; und nach dem Hilfssatze I gibt es keine andere Einheit 

 von der Form c — ad. 



