1923. No. II. ÜBER DIE EINHEITEX IN REINEN KUBISCHEN ZAHLKÖRPERN. I I 



Es gibt folglich keine Einheit von der Form c — aO.^ 



81 Es sei D = 19. Dann ist >/ = -(2 -^ 2Ö — Öl eine Einheit und 



1 > // > 0.072. Also wird ^ //'| < 2 und nach (3i 19.v -r 3v < 2 und 

 I .V + 3z ' <C 1 , oder .v ^ 3z = und 1 9.v — 3r = ; dies ist aber un- 

 möglich. Folglich ist ij die Fundamentaleinheit. Nun ist //- — — 8 -^ 3Ö. 

 Gibt es eine weitere Einheit )]'" von der Form c ^ ad , so muft nach dem 

 Hilfssatze I /;/ ungerade sein. Es sei nun /// = 2// — 1 und 



,j"' =(_8 - 36" --{2 - 26 — B) = c ~ a6. 

 Dann folsrt notwendis: die Gleichunsr 



+ 2 



(-81 



3 • 19 - 



3 • 19 - 



C 



81' - ( : K— 8)""^'-3'- 19 - 



-^ 



1- 



0, 



die offenbar unmöglich modulo 3 ist. Es gibt also keine weitere Einheit 

 von der Form c -t- aB. 



9) Es sei P = 20. Dann ist /j = 1 -6 — 6 eine Einheit und 1 > )/ > 0.03. 

 Also wird \] )]'\ <C 2.5 und nach (2) v' <^ 1 und z <C 1 . was unmöglich 

 ist. Folglich ist tj die Fundamentaleinheit. Xun ist >y- = — 19 — 16. Gibt 

 es eine weitere Einheit ;/'" von der Form c — (76 , so mue nach dem Hilfs- 

 satze I ;;/ ungerade sein. Es sei nun /;/ = 2ii — 1 und 



if = (— 19 - Töl" • (1 ^ 6 — B\^ c - a6. 

 Dann folgt notwendig die Gleichunsr 



(— 191 



+ 2 



19)"-' -7 



(- 191 



20 



(- 19r-'-7'-20 



(— 191 - ( |(— 191 



4 



n-3 _3 



7' • 20 4- 



-- 0. 



die offenbar unmöglich modulo 7 ist. Es gibt also keine weitere Einheit 

 von der Form c — aS . 



Dies folgt natürlich auch daraus, da6 die Gleichung .i-^ ~.*'^ ~ lOc^ in ganzen 1 ratio- 

 nalen! Zahlen unmöglich ist; vgl. § 7. 



