1923. No. II. ÜBER DIE EINHEITEN IN REINEN KIBISCHEN ZAHl KÖRPERN. 



^^n-sk-2 ,^3;>--r2 -_A- ( n ~ \ \i/-{ — 22)"" ""-10^ ""-35^ 

 ( — 22\ ■ 10 -30 



3k +2/ \3k ^ \l 3y(' -f 2 



und es ist lur alle /'^0,5 ~ ^ 3k + 2. Dasselbe gilt offenbar auch 

 für die dritte Reihe. Die k'"-' Reihe ist mit der folgenden Zahl multipliziert 



// \ m In — l\ II • 35' 

 35 



k - IJ U— 2/ X— 1 ' 



2k 2k— 2 2/' — 1 _ _ _ 



wo /;/ -"= — , oder ist, je nachdem k:=0 , =1 oder=r2 (mod. 31 



3.3 3 



ist. Für alle ^^4 ist nun 5 ^ ^ k — 1 . Die sämdichen übrigen Reihen sind 

 folglich auch durch 5"~ teilbar. Soll die Gleichung bestehen, so muß dann auch 

 die zweite Reihe durch 5" ^ teilbar sein. Dies ist aber unmöglich, da n 

 nur durch 5" teilbar ist. Es gibt folglich keine Einheit von der Form c -f- ad. 



Für 60 Werte von D habe ich die Fundamentaleinheit berechnet; die 

 Resultate sind in einer Tabelle in dem letzten Paragraphen angegeben. 



§ 3. 



Über die Anzahl der Einheiten von der Form c — ad. 



Satz I. 

 £"5 giöf in Jedem reinen kubischen Körper K \B\ höchstens eine [positive, 

 von 1 verschiedene) Einheit von der Form c — aü, mit rationahii a und c. 



Beweis: In § 2 haben wir schon diesen Satz für D ^= 2, 3, 7, 10, 

 17, 19, 20, 26, 28, 35, 37 und auch für D = 4 und 9 bewiesen. 

 Es sei nun | die Fundamentaleinheit in A'(ö) und 



1] = c + aß =^ ^"^ 



die erste von den Potenzen ^, ^^, ^^, i"^, , die von dieser Form 



ist. Für ;// = 1 ist unser Satz schon bewiesen, dem Hilfssatze I zufolge. 

 Es sei nun angenommen, dafs 



f ^ c + Ae 



eine andere Einheit ist von derselben Form ; dann mul3 M ^ m > 1 sein. 

 Es sei ferner M = //;// + r , wo 1 ^ r ^ v/ — 1 ist ; wegen des Hilfs- 

 satzes I ist nämlich r = unmöglich. Es sei weiter 



£ = |'--|(.v + vÖ - zB), 

 o 



