1923. Xo. ir. ÜBER DIE EINHEITEN I.V REINEN KLBISCHEN ZAHLKÖRPERN. I 7 



mit ganziii \rafiona/en\ x, y, z, ist nur in endlich vielen Fällen von der Fortn 

 c -r aB , mit ganzen {rationalen) c und a. 



B e w e i 6 : Es sei »/ eine positive Einheit, 



,; = X - yS - zB 



mit ganzen x. y, z, und folglich 



v3 _ x>y + Dz^ — 3/gxyz = \ , (1) 



und 



ij- = I.x2 - 2/gvz) + (2xy ^ /z^l 6 - \2xz - g^~) B . 



"\'erschwindet hier der Koeffizient von B, so mu6 also 



sein. Wird dieser Wert von z in ( 1 ) eingeführt, so ergibt sich 



oder 



Iß_\^ — 20D\^x^ = 8.x^ — 8a^ 

 und also 



Dy = IOa-^ - 2.V ] 27 x-^ — 2x. (2) 



Folglich muf3 27.v"^ — .'.r gleich einer Ouadratzahl sein, oder 



27x^ — 2x = a-. (3) 



Ist X gerade, so folgt aus dieser Gleichung 



21x^ — 2 = ± 2//-, A- = ^ 2:-. 



Da in -f 1 durch 3 nicht teilbar ist, mu6 hier das untere Zeichen 

 genommen werden. E^ ergibt sich somit 



lOSr-^ + \ = ir. 

 oder 



i, ± \ = 54,76 i, ~ \ = 2b^, 



also 



27rtö — /,6 = 4. 1 



Diese Gleichung ist bekanntlich' nur für a = möglich, a = gibt 

 V = und .V = 0, was unmöglich ist. 



I Für 3rt2 = a, 62 = ^ und ± 1 = v wird ja a^ - ß^ = j-^. 

 Vid. -Selsk. Skrifter. I. M.-N. Kl. 1923. No. ir. 



