TRYGVE NAGELL. M.-N. Kl. 



Wenn x ungerade ist, folgt aus (3) 



27x3 __ 2 = ±11^, X = + î'2. 



Wir müssen hier also das obere Zeichen nehmen. Also wird 



2 + //2 = 27x3 = (3^)3_ 



Diese Gleichung ist bekanntlich^ nur für // = 5 , x = 1 möglich. Dann 

 folgt aus (2), Dy^ = 10 ± 10, oder D = 20 und y = 1. Die einzige Lösung 

 unserer Aufgabe ist somit gegeben durch 



3 3 3 



( 1 + ]ŒO — ^f5Öy = — 19 + 7 V2Ö. 

 Es sei nun )/ eine positive Einheit 



i] =Ux + yd + zö) 



mit ganzen x, \', z, und folglich 



A-3 + Dy^ + 1)^ — d>fgxyz = 27 , (4) 



und 



^2^1 (^2 + 2fgyz) + - {2xy + /z2| 8 + - (2xz + ^^-2) ö . (5) 



Ist X durch 3 teilbar, so müssen auch v und z durch 3 teilbar sein; 

 denn es ist (vgl. Einleitung) 



y "= fx + 3t' =/x und z = ^x + ?>iv = gx (mod. 3). 



Diesen Fall haben wir aber schon behandelt. Wir nehmen also an, 

 daf3 X durch 3 nicht teilbar ist. Wegen (4) mufs x prim zu D = fg^ sein. 

 Verschwindet in (5) der Koeffizient von 6, so ist also 



(6) 



z = -^. 

 2x 



Wird dieser Wert von z in (4) eingeführt, so ergibt sich 



- ^^ + /gb' -/V^ ^ + ^/g^^ = 27 , 



oder 



Z)2y _ 20 Dy^x^ = 8x6 __ ^qq^ 

 und also 



Dy^ = 1 0.v3 ± 6.V V3.v4 _ 6 ^. (7) 



' Über die vollständige Lösung der Gleichung 2 + .v2 = _y3 j,-, ganzen Zahlen x, y, vgl. 

 L. E. Dickson, History of the theory of numbers, vol. 11, p. 533. 



