TRYGVE NAGELL. M.-N. Kl. 



Satz III. 



Die dritte Potenz einer Einheit ist niemals von der Form c + ad, mit 

 ganzen (rationalen) e und a. 



Beweis: Es sei r] eine positive Einheit 



ri = -{x+ ye + zö) . 



Der Koeffizient von B in yf" ist gleich 



- (gxy^ + x^z + fgyz^). 



Da X 7.n g teilerfremd ist, so mufà, wenn 



gxyi^ + x^z + fgyz^ = 0. (10) 



ist, z durch g teilbar sein. Wegen 



x^ + Dy^ + IJ^ — 2>fgxyz = 27 (11) 



ist der gröfate gemeinsame Teiler d von x, y und z entweder = 1 oder 

 = 3. Wir können folglich setzen ' 



x = dd^d.^x.,, y = ödod,y^, z = ôgd^d.^z^, (12) 



X z 



wo I r/j^ I der größte gemeinsame Teiler von — und — ist, wo \d.2 \ der größte 



X y 



gemeinsame Teiler von — und — ist, und wo | r/g | der größte gemeinsame 



y z j . . 



Teiler von ^— und -— ist. Die Zahlen d,x^ , d.^^ und d..z^ sind paarweise 

 og 



teilerfremd. Wenn die Werte (12) in i 10) eingeführt werden, ergibt sich 



nach Division mit àgd^^d^^d.-^: 



dj-d.^xj^- + i^^'i-iX^^i + Dd^d.^y^z^^ = 0. 



Hieraus folgt, dafs .v^ durch d^, data y^ durch do und dafs z^ durch 

 d.^ teilbar ist. Wenn 



% = d^Xo , ^1 = ^o^o , Zi = d^z.^ 



gesetzt wird, wo wir x^, y., und Zo positiv annehmen können, ergibt sich 

 nach Division mit d^d.,d.^: 



d^x.yj + d^^x.^z.^ + Dd./y.,z,^ =^ 0. 



' Vgl. etwa P. Bachmann, Niedere Zahlentheorie, Bd. I, S. 37. 



