1923- No. ir. CpER DIE EINHEITEN IN REINEN KUBISCHEN ZAHLKÖRPERN. 21 



Hieraus folgt aber, das Dd^H'^z^- durch x^ teilbar ist, was nur 



fiir -Vj = 1 möglich ist. Ganz ahnlich ergibt sich y^ = 1 und Zj = 1 . 

 Folglich wird 



<^i^ - dj - Df/^^ = 0, (13) 

 und 



X = ô(/i^d^, y = ô(t-<i^. z = ôgd^d^^. (14) 



Wenn diese Werte in (111 eingeführt werden, ergibt sich 



Wird hieraus mittels ( 1 3) Dd^^ eliminiert, so erhalten wir 



Nun ist aber die Gleichung 



tf^ — 3ini' — 6«:~ — 1-3 =^ «3 



nur für // = :■ = — w möglich in ganzen Zahlen i/, v, w. Dies folgt sofort 

 aus der Identität 



(//^ — 3ia~ - Ï-V — I3//-C' — 3«r-)3 = (,^ _ 3,^2^. _ q,^.2 j_ j3) (,/2_ „j. _ j2>3 



Folglich besteht die Gleichung (151 nur für r/^ = — 1 , (L = 1 . was 

 zu den unmöglichen Werten .r=3,y= — 3, r = führt. 

 Der Satz III ist damit bewiesen. 



Satz IV. 

 Es sei tj eine Einheit, 



t] = X - ye - zê 

 bziv. 



i] =-{x - ye - zB\. 



mit ganzen \ rationalen) x. V. z. Ist dann n eine ganze positive Zahl und 



tf = c — ad, 

 mit ganzen {rationalen) c und a, so maß z durch g teilbar sein, oder, ivenn 

 n und g beide gerade sind, durch — g teilbar sein} 



Beweis: Es ist 

 I.V - yS - zö)" = i.v - yßf^ l"\ {x + ySr' ■ zB -r ("\ ix ^ yør'z'B'-r • • • • 



' Nach dem Satze II kann « nur in endlich \"ielen Fällen gerade sein. 



