1923- No. II. ÜBER DIE EINHEITEN IN REINEN KTHISCHEN ZAHLKÖRPERN. 23 



Die sämtlichen übrigen Reihen sind folglich auch = (mod. q). Die zweite 

 Reihe muß dann auch =0 (mod. (?), also zx"~ =0 {mod. q). Da nun .v 

 zu D = /g~ teilerfremd ist, folgt z = 0(mod. ^); und unser Satz ist somit 

 bewiesen. 



Für die Fälle /1 = 4 und ;/ = 5 kann ich beweisen, dafa die Gleichung 

 (17) unmöglich ist. In einer folgenden Arbeit werde ich die Untersuchung 

 von der Gleichung ( 1 7) fortsetzen. 



§ 5. 



Einheiten von der Form c + nO und die Fundamentaleinheit. 



Es sei Ä'(ö) ein Körper erster Art, und D ^ 20. Es sei ferner 

 t] =' c + aß ein positive Einheit und ^ die Fundamentaleinheit und y = i'"- 

 Dann muß entweder /// = 1 sein, oder es ist ;;/ ^ 5. Denn nach den 

 Sätzen II und III in § 4 ist /// = 2, 3 oder 4 unmöglich. Ist /// > 5, so folgt 



o<>/ = r^f<i, 



1) 



W\ = \]c--ace -r rt-V|<l3(l + \a\e), 



weil |<^| <C 1 + 1^1 ^ ist. Es sei nun 



i = X + yd + zB, 



I' = X + ydo + zog- , 

 i" = X + yßo^ + zdg . 



Hier muß nach dem Hilfssatze I z von Null verschieden sein. Nach 

 dem Satze W in § 4 ist z = (mod. g) ; denn //; muß ungerade sein, da 

 D von 20 verschieden ist. Es ist folglich 



und 



^^I^K^d +2U^'|). 



Wegen (1) wird folglich 



l/ 



3gB =^ 3ö2 <; 1 4- 2 r ^3(1 + \a\e). 

 Hieraus folgt sofort der 



