24 TRYGVE NAGELL. M.-N. KL 



Satz V. 



Es sei K {6) ein Körper erster Art und D ^ 20. Ist dann )] = c + aß 

 eine Einheit, und besteht die Ungleichung- 



(2) 



V3„ + ,„|«,^(^:Li) 



SO ist 1] die Fnndamentaleinheit. 



Ist z. B. |«| = 1, so besteht die Ungleichung (2) für alle /) ^ 2. Wir 

 haben folglich das spezielle Resultat: 



Alle kubiisfrcien Zahlen von der Form 



fl = c3 ± 1 , 



a'o c eine ganze positive, durch 3 unteilbare Zahl ist, haben die Eigenschaft, 



3 3 



daß die Fundanientaleinheit im Körper K\\D) gleich ± c + \ Z) ist. 



Es sei darauf K (ö) ein Körper zweiter Art, und i] ^ c + aß eine 

 positive Einheit. Es sei ferner tj = ^ , wo ^ die Fundamentaleinheit ist. 

 Wir nehmen an, dafs m ^ 2 ist. (Nach Satz II in § 4 kann /// nur in 

 endlich vielen Fällen gerade sein ; ist /;/ ungerade so mufs ;;/ ^ 5 sein). 

 Dann ist 



< ,/ = r ^ ^^2 < 1 ^ 



\i]'\ = \]'c'^ — acß + a^ß^lo'lil + \a\9). 

 Es sei nun 



f =|(.v + yß + zB), 



I' = -tU- + y^Q + 2öo2), 



I" =Ux + yßQ^ + zBq). 



Nach dem Hilfssatze I mufa hier z von Null verschieden sein. Nach 

 dem Satze IV in § 4 ist z = (mod. g) , wenn g ungerade ist, und 



Z = {mod. — ^), wenn g gerade ist. Es ist folglich 



3> 



und 



Z=^{^+ k'Q + ^"q^) 



^^^I^l<|-(1 + 2|s"|), 



