26 TRYGVE XAGELL. M.-N. Kl. 



Es ist folglich für D ^ 2 



1 + Dy3 + Dz^ — S/^-^' = 1 , 

 oder 



^};3 + fz^ = ?>yz . 



Es sei nun à der gröfete gemeinsame Teiler von y und Z, 



y -^ èy^, z = ôz^ , 



wo }'i und Zi teilerfremd sind, also 



gy,'+fz,'=^. U) 



Wenn ô durch 3 teilbar ist, müssen wir 



Ô == 3cd, y^ = du, Z^ = cv 



haben, wo c, d, ii und i' ganze Zahlen sind ; u und i' wollen wir positiv 

 annehmen. Dann wird 



gd^jfi + fc^v^ '-= tiv . (2) 



Hieraus folgt, daf3 fc'v^ und folglich / durch // teilbar ist, und daß 

 gd^ifi und folglich g durch i> teilbar ist, also 



/ = au , g= bv, 



wo die ganzen Zahlen a und b positiv sind. Dann folgt aus (2) durch 

 Division mit iiv , 



bu^d^ + av~c^ = 1 . 

 Folglich wird wegen 



y = Scd^K, Z — - 3c^dv, 



,y = 1 + ;yÖ + zö = a-o'^c^ + bird^ + 3cd^u \ab~irc'^ + 3c-di']'n-birv = 



3 3^ 



--={c]iav^ + dik?f. 



Wenn Ô durch 3 nicht teilbar ist, folgt aus (1) 



ô =^ cd , )'j — dti , z^ = Ci', 



wo c, d, II und v ganze Zahlen sind ; // und v wollen wir positiv an- 

 nehmen. Dann wird 



gd^ir> + fc^v^ = 3iiv. (3) 



Hieraus folgt, dafà f durch ?/ und g durch i' teilbar ist, also 



f= au, g = bv. 



