1923. No. ir. ÜBER DIE EINHEITEN IN REINEN KUBISCHEN ZAHLKÖRPERX. 27 



WO a und b positiv sind. Durch Division mit //:- folgt dann aus (3) 



bii-d^ + ai^f^ = 3 . 

 Folelich wird weçen 



y = cd- II, z = c^dv, 



1 ., . 



'/ = 1 ^ yÖ - JÖ = -|/>//-^/^ -r a-A-^\ - cd-u "Saltum- - t-^f/i' ■\ a-/i«-î' 



3 3 



= j(c\in'^ -rd\bu^f. 



Wir haben somit den folgenden Satz bewiesen : 



Satz vn. 



£"5 sei )] eine Einheit von der Form 



,j = l ^ yß - :d . 



mit ganzen {rationalen) y und z, indem D von 2 itnd 4 verschieden ist, 

 Dann ist entzveder 



f = au , g= bv, 



av^i^ — bu-d^ = 1 , 



y = 3cd-u , z = Sc^dv , 



3 3 



>] = \c]av^ — d]birr, 

 oder 



f= au, g= bv, 

 ai'^c^ + bu-d^ = 3. 



y = cd-u, z = c-dv. 



141 



1 ^^_ ^^_, 



// =T{c\av'- -T d\bu'-Y 



(51 



Hieraus folgt daß // ■< 1 ist. Denn wegen (4) und (5) haben c und d 

 entgegengesetztes \'orzeichen ' ; folglich ist 



. 3 3 3 



-= ,/,/' = [c2v\a^v — cd\abu-i- -r d-u^b-uf>3^ 



j 1 3 3 3 



bzw. "" = )/ 1]" = Q [c^ V ] a- V — cd ) abir i^ -r d- u y tr u\ ^ 3 . 



Da in (4) und (5) cai-^ und dbu- teilerfremd sind, folgt aus Satz \'II 

 wegen des Hilfssatzes II in ^ I : 



' Die Möglichkeit <: = «/= i« = r = 1 und «6 = 2 gibt D = 2 oder = 4; diese Fälle 

 haben wir aber auseeschlossen. 



