1923- No. II. ÜBER DIE EINHEITEN IN REINEN KUBISCHEN" ZAHLKÖRPERN. 31 



in ganzen Zahlen .v, v, 3, D, für eine grofse Anzahl Werte von D bewiesen.^ 

 Diese Gleichung ist z. B. unmöglich für D = 1,3, 18, 36, />, q, />-, q-, 9p, 9q, 

 9p-, 9q-, pq, p-q-, pPi~, qqi~, wo p und p^ — S (mod. 9) und wo q und 

 t/i = 2 (mod. 91 ist. (Die /> und </ sind Primzahlen). Entsprechende Re- 

 sultate folgen natürlich für die Gleichung 



x^ + Dy = 1 . 121 



Wir wollen nun annehmen, dafs in dieser Gleichung D keinen Prim- 

 teiler von der Form 6/ — 1 hat. Dann folgt aus der Gleichung (2), wenn 

 Dy durch 3 nicht teilbar ist, 



X- - .Y - 1 = 3ii^ , 



.V- 1 =-Dz-5, 

 3 



wo die erste Gleichung so geschrieben werden kann 



[x + 21^ — [x — 1)^ = (3//P, 



also mufs .v = — 2 oder D = 9 sein. 



Ist Dy durch 3 nicht teilbar, so folgt aus (21 

 .V- — .V — 1 ^ ir , 



.V- 1 = Dz'K 



Die erste von diesen Gleichungen hat aber nach einem Satze von 

 A. Thue (vgl. § 4, S. 19, Fufanotel nur endlich viele Lösungen in ganzen 

 Zahlen .v, //. Die Lösung x = — 1 gibt D =^ 2 , x = 18 gibt Z) ^ 1 7 und 

 x^ — 19 gibt Z) = 20; diese Lösungen sind vielleicht die sämtlichen. 

 Es gilt folglich: 



JVcuii eine Einheit von der Form c + aö //// Körper K\B) existiert, 

 dann muß D, von endlich vielen Ausnahmen abgesehen, mindesteiis einen 

 Primteiler von der Form 6f + 1 haben. 



Wenn D keinen Primteiler von der Form 6/ — 1 hat, gilt also : 



Die Gleichung (21 ist nur für D = 9 möglich, wenn Dy durch 3 

 teilbar ist. 



Ist /) = ± 4 (mod. 91, so mufa in (21 y durch 3 teilbar sein. Denn 

 sonst wird .v^ = 1 — D\'^= I + 4 (mod. 91, was unmöglich ist. Die Gleichung 

 (2) ist folglich unmöglich, wenn D = rb 4 (mod. 9) ist und keinen Prim- 

 teiler von der Form 6/ + 1 hat. 



' Siehe L. E. Dickson, History of the theory of numbers, vol. II, pp. 572 — 8. 

 2 Fur D = (J =2 gibt es die einzige Lösung x = — y = — 3. 



