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Ein Beitrag zur Theorie der höheren Kongruenzen. 



\\ enn /ix) und g l.v) zwei ganzzahlige Polynome in .v sind, kann man 

 nach solchen Primzahlen /» fragen, für welche die beiden Kongruenzen 



/{x) = (mod. p\. 111 



^(.vl = (mod. p) (21 



Lösungen haben. Wir werden sehen, dafa solche Primzahlen immer exi- 

 stieren und zwar in unendlicher Anzahl. Dies ist trivial, wenn g ix) linear 

 ist; denn dann ist die Kongruenz (2) nur für endlich viele Primzahlen /> 

 unmöglich; und die Kongruenz (1) hat bekanntlich Lösungen für unendlich 

 viele Primzahlen p.^ Ich will nun weiter zeigen, dafà dies auch für den 

 Fall richtig ist, in welchem g ix) vom zweiten Grade ist. Es genügt die 

 Behauptung für die Polynome 



/(.v) = .v" -r a^ x"~ + + rt„ , 



^(.vl = x^ -t- /»i-v -r å^ 



zu beweisen, wo /(.vi und g l.v) irreduzibel sind, // ^ 2. hidem ich den 

 Parameter v einführe, wende ich nun ein Euklidisches Divisionsverfahren 

 auf /l.v -f- y) und ^(.vl an und erhalte zunächst die Gleichung 



/(x +.V) =^(.v)- Vo +./i<-'^'. '31 



wo j/'q ein Polynom in .v vom Grade ii — 2 ist mit Koeffizienten, die ganz- 

 zahlige Polynome in y sind ; weiter ist 



/, (.V) = A^ X -r B^ , (4) 



wo A^ und B^ ganzzahlige Polynome in v sind. Wenn o eine Wurzel von 

 p^ (.vi — ist, dann ist 



' Siehe z. B. J. Schur, Über die Existenz unendlich vieler Primzahlen in einigen spezi 

 eilen arithmetischen Progressionen. Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Ge- 

 sellschaft, II. Jahrg. (igi2l, S. 40. 



