TRYGVE NAGELL. M.-N. Kl. 



woraus sich A^ und B^ bestimmen lassen. 



Wird nun wcs'ter g ix) durch A^ x + B^ geteilt, so ergibt sich : 



Hier ist 

 und 



A^^g {x) -= (A, X + ßj H\ + A., . (5) 



y.\ = A^x + A^ l\ — B^ 



A^ = A^lu — B^ {A^ b, - B,) (6) 



oder, wenn q' die zu o konjugierte Zahl bezeichnet, 



A, = {A, Q + B,) {A, Q + B,) = f{y + q) -/{y + q) . (7) 



Wenn A^ und Aç^ eine gemeinsame Nullstelle Vq haben, dann folgt 

 aus (6), dafe auch B^ diese Nullstelle hat. Hieraus folgt weiter, dafej^o eine 

 mehrfache Nullstelle von A.2 ist. / [y -\- q) = hat nur verschiedene 

 Wurzeln, da f{x) irreduzibel ist, ebenfalls /( v + g) — 0. Wegen (7) mufe 

 folglich j'o eine gemeinsame Wurzel von/(v + o) = Ound/(jv + ^ ) = sein. 

 Diese Gleichungen können aber, da g von o verschieden ist, nicht sämt- 

 liche Wurzeln gemeinsam haben. Folglich hat A,^ wenigstens eine einfache 

 Nullstelle ; d. h. Ac^ hat eine Nullstelle, die nicht zugleich eine Nullstelle von 

 A^ ist. Dann ist A^ durch ein ganzzahliges Polynom // ( v) teilbar, das 

 prim zu Aj^ ist. Das Polynom // ( v) hat unendlich viele Primteiler ' ; nur für 

 die endlich vielen Primzahlen p, die in der von Null verschiedenen Re- 

 sultante R{h(y), A^) aufgehen, können h{y) und Ay für denselben Wert 

 von V durch p teilbar werden. Ist nun p eine Primzahl, die für y = y^ in 

 // ( V') aber nicht in A^ aufgeht, so können wir .v aus der Kongruenz 



AyX= — By (mod. p) 



bestimmen. Dann folgt aus (5), dafa g{x) durch p teilbar ist, und endlich 

 aus (3), dafà f{x + y) durch p teilbar ist. 



Die Behauptung ist damit bewiesen. 



Diese Methode führt wohl für ein beliebiges ^(.v) zum Ziel. Sie wird 

 aber, schon wenn g{x) vom dritten Grade ist, so kompliziert, daf? ich den 

 allgemeinen Fall nicht weiter untersucht habe. 



Durch Anwendung von Idealtheorie gelingt es aber, wie ich im fol- 

 genden zeigen werde, sehr leicht die Aufgabe vollständig zu lösen. 



Es sei K ein algebraischer Zahlkörper A^''^" Grades und k ein Unter- 

 körper «'''" Grades von K. Es sei ferner p ein Primideal ersten Grades 



' Schur, loc. cit. 



