1923. No. 13. ZAHLENTHEOKETISCHE NOTIZEN. I VI. 5 



in K. Dann ist die Relativnorm von p bezüglich des Körpers k ein Ideal 

 j in k, also 



.Vk(p) = j. 



Ist p die rationale Primzahl, die durch p teilbar ist, so ist die Norm 

 in k von .Vtlpl, bezüglich des rationalen Körpers, gleich />, weil p vom 

 ersten Grade ist, also 



.V(i)=/). 



Hieraus folgt, daß j ein Primideal ersten Grades in k ist, Wenn die 

 rationale Primzahl p durch ein Primideal ersten Grades in K teilbar ist, 

 so ist sie also auch durch ein Primideal ersten Grades in k teilbar. Es 

 gilt ferner auch : Ist die rationale Primzahl p gleich dem Produkt von X 

 Primidealen ersten Grades in K, so ist sie gleich dem Produkt von n Prim- 

 idealen ersten Grades in k. 



Es sei nämlich 



/> = Pi p. • • • p.v . 

 wo Pi , p,, , ■ • • • , p.v Primideale ersten Grades in K sind, und 



Mk (Vi) = ii . 



wo also j,- , wie soeben bemerkt, ein Primideal ersten Grades in k ist. 

 Dann wird 



.V 



Xk[p) = hU-'-}s=p". 



Hieraus folgt aber, dafe p nur durch Primideale ersten Grades in k teilbar 

 ist, und folglich gleich einem Produkt von ;/ solchen Primidealen ist. 



Wenn K ein Galois'scher Körper ist, dann ist bekanntlich jede (ra- 

 tionale) Primzahl, die durch ein Primideal ersten Grades in K teilbar ist, 

 gleich dem Produkt von Primidealen ersten Grades. Es sei nun F\x) = 

 eine irreduzible algebraische Gleichung .V"^" Grades, die K bestimmt; es 

 sei femer /{x) = eine irreduzible algebraische Gleichung ;/'^" Grades, die 

 k bestimmt. Dann gilt nach dem vorhergehenden : 



Hat die Kongruenz 



F{x\ = {mod. p) [8) 



Lösungen für die Primzahl />, so hat auch die Kongruenz 



/\x) = (mod. />l (9) 



Lösungen. Ferner, hat (8) A' inkongruente Lösungen, so hat (91 // inkon- 

 gruente Lösungen. 



