TRYGVE NAGELL. M.-N. Kl. 



Es seien nun fix] und g{x) zwei irreduzible Polynome in ^- mit ganz- 

 zahligen Koeffizienten ; es seien ferner k^ und /\, die beiden algebraischen 

 Zahlkörper, die durch f{x) = und ^(.v) = bestimmt sind. Es sei endlich 

 K ein Galois'scher Zahlkörper, der sowohl X\ wie 4-., enthält^, und F{x) = 

 eine irreduzible algebraische Gleichung (mit ganzzahligen Koeffizienten), die 

 K bestimmt. Hat dann die Kongruenz 



F{x) = (mod./)) (10) 



Lösungen für die Primzahl p, so haben auch die Kongruenzen 



/(.y) = (mod./.), (11) 



g{x) = (mod./)) (12) 



Lösungen. Ferner, hat (10) ebenso viele inkongruente Lösungen, wie ihr 

 Grad beträgt, so haben auch (11) und (12) ebenso viele Lösungen, wie ihre 

 respektiven Grade betragen. 



Nun hat die Kongruenz (10) Lösungen für unendlich viele Primzahlen/.. 

 Folglich gilt 



Satz I. 



Es seien f[x) und g[x) zivei ganzzahlige Polynujuc in x. Dann gibt 

 es unendlich viele Primzahlen p, für ivclche die Kongruenzen 



f{x) — (mod./)), 

 g ix) — (mod. p) 



ebenso viele inkongruente Lösungen haben, ivie ihre respektiven Grade 

 betragen. 



Wählen wir speziell 



g [x] ^ n{x — f), 



f 



wo e die rp (n) primitiven w*^^" Einheitswurzeln durchläuft, so gilt bekanntlich 

 für jeden Primteiler p von g [x] , entweder p = 1 (mod. //) oder // = 

 (mod. /)). Folglich gilt 



Satz II. 



Es sei /{x) ein ganzzahliges Polynom in x, und n eme positive ganze 

 Zahl. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen p von der Form nt + 1 , 

 für welche die Kongruenz 



f(x) = (mod./)) 



ebenso viele inkongruente Lösungen hat, wie ihr Grad betragt. 



Der Satz I gilt natürlich auch dann, wenn wir statt zwei eine beliebige 

 Anzahl von ganzzahligen Polynomen haben. 



' Für Ä' bestehen offenbar unendlich viele Mös<lichkeiten. 



