J 923- ^^O. 13. ZAHLENTHEORETISCHE NOTIZEN. I — VI. 



n. 



Zur Theorie der quadratischen Reste. 



Gauss hat den folgenden Satz bewiesen : ' 



Ist p eine Primzahl von der Form 8 7" + 1 , so gibt es immer unter- 

 halb 2\p -T \ eine ungerade Primzahl q, von welcher p quadratischer 

 Nichtrest ist. 



Nun ist nach dem quadratischen Reziprozitätsgesetz 



&)-(! 



Es gibt folglich immer eine ungerade Primzahl q <^l'\p -r 1 , die 

 quadratischer Nichtrest von p ist, wenn p = 1 (mod. 8) ist. Ich werde hier 

 zeigen, daß dies für jede ungerade Primzahl p^ 3 gilt. 



Es sei zuerst p von der Form 8 T' + 5. Dann ist p gleich der Summe 

 von zwei Ouadratzahlen, also p = a- — tr- . Folglich wird 



a- — h^=. — 2tr- (mod. />) , 

 und also ist 



^a^- - b^\ (- 2- 



P 



= — 1 



Folglich hat a- — br mindestens einen (ungeraden) Primteiler q, der qua- 

 dratischer Nichtrest von /» ist; dann ist aber 



q^a - Ä < 2\J — 1 . 



Der Satz ist folglich für p = 5 (mod. 81 bewiesen. 



Es sei darauf p = ST — 1 , und a die ganze Zahl, für welche 



«-</) <(^? - 11^ 



ist. Ist hier a gerade, so ist die positive Zahl /> — a- von der Form 

 4/ — 1 ; sie hat also mindestens einen Primteiler q=. — 1 (mod. 4). Dann 

 srilt aber 



und 



q^p-a'-<p-{\p- 1)2= 2)p - 1 



(;-)=-e)=-(7)— , 



Disquisitiones arithmeticae, art. 120. 



