1923- ^^O. 13. ZAHLENTHEORETISCHE NOTIZEN. I — VI. Q 



Wir wollen darauf die entsprechende Aufgabe untersuchen, eine 



möglichst kleine ungerade Primzahl zu bestimmen, die quadratischer Rest 

 von einer gegebenen Primzahl /> ist. 



Es sei zunächst /> = 1 (mod. 41. Wenn c eine beliebige ganze Zahl 

 ist, dann ist offenbar jeder ungerade Primteiler q von p — c^ quadratischer 

 Rest von p[q^ />). Denn es ist 



kP) \<?/ VI 

 Nun ist p gleich der Summe von zwei Ouadratzahlen : 



P = a'- ^ b^, 



wo wir b gerade annehmen können. Für jeden Primteiler q von a gilt dann 



ii\- 



und 



q^yp-b'-s^p-"^- 



Wenn a = 1 ist, dann ist jeder ungerade Primteiler von 



quadratischer Rest von p. Ist endlich /> = 1 -'-2'", so mufe »i eine Potens 

 von 2 sein, also »1 = 2". Dann ist für // ^ 2 jeder Primteiler der Zahlen 



2"2i 2' 



Sp — 1 +1=2+1, (/ = 2. 3, • ■ • • ,, - 1 . 



quadratischer Rest von p. Folglich ist bewiesen : 



Satz n. 



Ist p eine Printzahl von der Form AT -^ 1^17, 50 gibt es immer 

 unterhalb 1 p eine ungerade Primzahl q , die quadratischer Rest von p ist. 



W^enn p = — 1 (mod. 4) ist, dann ist jeder ungerade Primteiler q von 

 — ip-T 1) quadratischer Rest von />; denn es ist 



^j = (-n' ■(^] = {-\\' ■{ — ]= ^ 1 



