1923. No. 13- ZAHLENTHEORETISCHE NOTIZEN. I — VI. II 



Beweis: Es genügt oftenbar anzunehmen, dafä ;/ und ;;/ relative Prim- 

 zahlen sind. Ferner können wir ;// > 1 annehmem, .v muß ^ ;;/ sein ; 

 denn für .v "^m — 1 wird 



5<(.v + l)-< 1. 

 ;;/ 



Es sei zunächst ;/ ungerade. Dann gibt es mindestens eine gerade 

 Zahl unter den Zahlen 



///, ;;/ -r n, ui -^ In , , /// -f xii . (2) 



(Der Fall .v = ist ausgeschlossen, da .v ^ ;// ^ 2 ist.) Es sei nun 2" 

 die höchste Potenz von 2, die in irgendeiner der Zahlen (21 aufgeht; es 

 sei ferner /;/ + kn die erste Zahl in der Reihe (2), die durch 2" teilbar ist: 



;;/ -i- kr: = 2" (2// ^1). 



Die nächste Zahl von der Form ;;/ + /;/ , die durch 2" teilbar ist, ist 



/;/ + (/^ - 2") ;/ = 2" {2/i ~ n - 11. 



Da « ungerade ist, so ist die Zahl durch 2" "^ teilbar; sie gehört 

 daher nicht zu den Zahlen (21. Es gibt folglich in (II nur ein einziges 



Glied, dessen Nenner durch 2" teilbar ist, nämlich — . Wird ( 1 1 mit 



— {in -^ kn) multipliziert, so ergibt sich daher 



L iL 



y(;;/ -f ^//1 S = T "i" :j. 



wo à ungerade ist. Hieraus ergibt sich, dafa S keine ganze Zahl ist; und 

 der Satz ist für ungerades ;/ bewiesen. 



Es sei darauf // gerade ; dann ist ;;/ ungerade ^ 3 . 



Es ist nun leicht die foleende Unsleichung zu beweisen 



5<l-l,og(, -^1. (3) 



Wir haben nämlich 



y-l 



r (fv -^ 1 



J ;;/ -j- yti m — (_\' — 1 1 // 

 y 



