TRYGVE NAGELL. M.-N. Kl. 



Setzen wir hier v = , 1 , 2 , .v — 1 , so ergibt sich durch Sum- 

 mation 



^ 1 1 1 



> — + — ^+ + 



J ;;/ + yn in + n m + 2n m + xn ' 







woraus (3) sofort folgt. 



Es sei q ein Primteiler von in + kn , wo ^k -^x ist. Ist keine 

 andere der Zahlen (2) durch q teilbar, so ergibt sich aus ( 1 ) durch Multi- 

 plikation mit — (/;/ + kii) 



-im + kn)S = - + -, 

 q b q 



wo h durch q nicht teilbar ist. 6" ist folglich keine ganze Zahl. Wenigstens 

 zwei von den Zahlen (2) müssen also durch q teilbar sein, falls S eine 

 ganze Zahl ist. Wenn g ^ x ist, ist höchstens eine der Zahlen (2) durch q 

 teilbar; folglich muß (J'^x sein. Wenn q eine beliebige Primzahl ^ .v + 1 

 ist, die in ;/ nicht aufgeht, dann gibt es immer eine Zahl unter den Zahlen 

 (2), die durch g teilbar ist; denn, da n prim zu q ist, bilden die Zahlen 



;;/ , in + n, in -\- 2ii, , in + {q — 1) // . 



ein vollständiges Restsystem modulo q. 

 Wir wollen nun annehmen, daf? 



.v^3;y —1^5. (4) 



Nach dem Satze von Tchebycheff gibt et dann immer eine Prim- 

 ;îahl q, so daß 



-U + 3)<^^.v + 1. (5) 



Dann gibt es eine Zahl in der Reihe (2), die durch q teilbar ist; 

 denn wir haben 



q>^-[x + 3)^3|+ 1 >n. (6) 



Es sei /;/ + kn die kleinste Zahl in (2), die durch q teilbar ist, also 



in + kn =^ qT, (7) 



wo k <^q ist. 



