ig23- N :3. zahlentheoretische notizen. i - \ :. 5 



Wenn // der Grad von /(.vi und /;/ der Grad von ^(.vl ist, genügt es 

 natürlich den Fall zu untersuchen, in welchem /1/ ^ // — 1 ist. (Wenn 

 // ^ /;/ -i- 2 ist. konvergiert ja die Summe für x — >■ oc .1 



Ich werde hier nur den folgenden speziellen Satz beweisen: 



Satz m. 



Es seien a, b, c und d ganze Zahlen^ <î > 0, c — i- </- >• O und — ab 

 keine Onadratzahl. Dann ist die Summe 



sJy4^ (10) 



^^ ak ' 



nur für endlich viele l Verte i'on x eine ganze Zahl. 



Beweis: Es sei .v,, die kleinste positive Lösung der Kongruenz 



a.\~ — = (mod. p\, 



wo p eine ungerade Primzahl ist, die in b nicht aulgeht, also 0<C-Vo<C— />• 

 Dann ist die nächste positive Lösung gleich p — .v^ und folglich 



>•—/>. Nun folgt aus einem Satze, den ich früher bewiesen habe:' 



Für alle hinreichend grofee x ist der grö6te Primteiler Px des Produktes 



k = x 



Y\ iak^ - b) 



t = i 



gröfeer als 2.x-. 



Wenn .v grofà genug ist. ist folglich nur eine der Zahlen ak- -r b, 

 1 '^k'^x , durch Px teilbar. Eis sei diese Zahl fl.i\,- — b. Dann ist cx^ — d 

 nur dann durch Px teilbar, wenn ad- -r bc^ es ist ; dies ist aber nicht der 

 Fall, wenn wir 2.v grölaer als ad- — bc^ wählen. Wird dann (lOl mit 



— {axQ- -s- b\ multipliziert, so ergibt sich 

 ■«jt 



I . , , ^ cx,;~ // T 



wo A' durch Px unteilbar ist. 5 kann folglich keine ganze Zahl sein ; und 

 der Satz III ist bewiesen. 



1 Siehe meine Arbeit: Zur Arithmetik der Polynome, § i, .Abhandlungen aus dem mathe- 

 matischen Seminar der Hamburgischen Universität, Bd. I (1922», S. 179. 



