i6 



TRYGVE XAGELL. 



M.-N. Kl. 



IV. 



Einige Sätze über kubische und biquadratische Reste. 



P. Bachmann beweist in seinem Lehrbuche: „Die Lehre von der Kreis- 

 theilung", (Leipzig 1872), Seite 143, den folgenden Satz; In der eindeutigen 

 Darstellung von jeder Primzahl p == QT + 1 in der Form 4:p = a^ + 21 b^ 

 ist die Zahl a kubischer Rest von p. 



Ich werde hier den folgenden allgemeineren Satz beweisen: 



Satz I. 



In der eindeutigen Darstellung von jeder Primzahl p =^ QT + I /';/ der 

 Form 4/) = (7^ + 21 h- ist jeder Primteiler der Zahlen a und b kubischer 

 Rest von p. 



Beweis: Wir benutzen die elementare Theorie des Körpers Ky —3; 

 vgl. das oben zitierte Lehrbuch von Bachmann. 



Es sei 71 = —\a + 3b V — 3) ein primärer Primteiler von p. 



Es sei ferner q ein Primteiler von a oder b. Um den Satz zu beweisen 

 haben wir zu zeigen, dafe 



(f z=z 1 (mod. p) 



ist, oder, was offenbar dasselbe ist, daß 



17 = 1 (mod. r?) 



ist. Indem wir das Symbol von Eisenstein für den kubischen Charakter 

 einführen, mufà also 



sein. Wir müssen vier Fälle unterscheiden. 



1 ) Es ist q= — 1 (mod. 6). Dann ist nach dem kubischen Rezi- 

 prozitätsgesetz ' 



2 {a + U V - 3 



' Siehe Bachmann loc. cit., S. 193—199. 



