TRYGVE NAGELL. M.-N. Kl. 



Für biquadratische Reste haben wir das ähnhche Resultat: 



Satz II. 



/;/ der eindeutigen Darstellung von jeder Primzahl p =^ AT + 1 /// 

 der Form p = a^ -\- Air- ist Jeder Priniteiler (/ = 8t + 1 voii a und jeder 

 Prinitciler q =^ At + 1 voii b hiqnadratischer Rest von p. Ferner, iveim 

 (^ = 8t — 1 ein Priniteiler von a ist, oder ivcnn q — At — 1 eitt Primteilcr 

 von b ist, dann ist — q biquadratischer Rest von p. 



Beweis: Um den Satz zu beweisen benutzen wir die elementare 

 Theorie des Körpers Ä'() — l) und das biquadratische Reziprozitätsgesetz ^ 

 Es sei nun .t = c? + 2 bi ein primärer Priniteiler von p. Es sei ferner q ein 

 Primteiler von a oder /;. Um den ersten Teil des Satzes zu beweisen 

 haben wir zu zeigen, dafa 



(1 



l(p-n_ 



= 1 (mod. 



ist. hidem wir das Symbol von Jacobi für den biquadratischen Charakter 

 einführen, mufs also 



e.) 



= + 1 



1) Es sei q ein Primteiler von a und y = 1 (mod. 8); es sei ferner 

 ^ = oj • CO die Zerlegung von q in primäre Primzahlen. Dann ist nach dem 

 biquadratischen Reziprozitätsgesetz 



^ \\^ \\ ^ / / \\"^/ \\"^ 



und folglich, da q in a aufgeht 



5^ra((f))=e)((f 



(— 1) = + 1 



2) Es sei q ein Primteiler von b und q= 1 (mod. 4); es sei ferner 

 q = oj ■ o)' die Zerlegung von q in primäre Primzahlen. Dann ist nach dem 

 biquadratischen Reziprozitätsgesetz 



B^mm-mm 



' Siehe Bachmann, loc. cit. S, 150 — 185. 



