TRYGVE NAGEKL. M.-N. Kl. 



Zu diesem Resultat füge ich hier das folgende: 



Satz I. 

 Die ittihcsfiiiiuitr Gleichung 



ivo p eine Primzahl von der Form 8/ + 5 ist, ist mir möglich in ganzen 

 Zahlen x,y, z, wenn z = ist. 



Beweis: Wir können die Zahlen .v, y, z positiv und paarweise teiler- 

 fremd annehmen, z mufe offenbar gerade sein. Wenn .v^+j'^ durch p teil- 

 bar ist, folgt aus (1) das System 



X ±y = 2a^, x+ y ^ 2b^ , x^ + ^ = 2pc^, 



wo a, b, c paarweise teilerfremde Zahlen sind. Folglich wird durch Eli- 

 mination von .V und v: 



«4 + ^4 ^ pc2^ 

 Da c ungerade ist, und a oder b gerade ist, so folgt hieraus 

 pc-^p^ 1 (mod. 8), 



während p = 5 (mod. 8) ist. 



Wenn x^ + y^ durch p nicht teilbar ist, folgt aus ( 1 ) das System 



X ±y =^ 2pa^, X + y ^ 2b^ , x- + y^ = 2c^ , (2) 



wo a, b, c paarweise teilerfremde Zahlen sind, z = 2abc. c ist ungerade; 



entweder a oder b ist gerade. Durch Elimination von .v und v ergibt 



sich aus (2) 



/>2a4 + ^4 .= ^2 (3) 



Wenn b gerade ist, folgt aus dieser Gleichung 



c ± pa^ = Se"^, c+pa^ = 2/^, 

 oder ± pa^ = Ae^ - /^ = {2e^ + ß) {2e^ — P) • 



Diese Gleichung ist aber unmöglich; denn weder 2e^ + /^ noch 2e^ — /^ 

 ist durch p teilbar, weil /> = 5 (mod. 8) ist. 

 Wenn a gerade ist, folgt aus (3) 



c ± pa'^ = e"^, c + pa^ =/'^, 

 oder ± 2pa^ = e^ - f\ (4) 



