1923. No. 13. ZAHLENTHEORETISCHE NOTIZEN. 1 \l. 2 1 



Diese Gleichung ist von derselben Form wie Gleichung ( I ). Es ist 

 aber z = 2ahc, also z^.2a. Dies ist aber unmöglich; denn wäre die 

 Gleichung (II möglich, so würde es eine kleinste (positive) Lösung s geben. 

 Unser Satz ist somit bewiesen. 



Wir wollen noch den folgenden Satz beweisen: 



Satz n. 



Es scic7t p wid q zivci ungerade Primzahlen, sndaß p quadratischer 



Nichtrest voti q ist. Dann ist in den folgendoi zxvei Fnlhii die nnhestnjnnte 

 Gleichung 



x^—y^^pqz^ (5) 



;///;■ für o = möglich in ganzen Zahlen x , y , z : 1) ivejin q ^ 1 und 

 p = 3 (mod. 8) ist; 2) zcenn q = 5 und p^l (mod. 8) ist. 



Beweis: Wir können .v, v, z positiv und paarweise teilerfremd an- 

 nehmen. Wäre z ungerade, so würde sich aus der Gleichung (5) ergeben 



pqz^^pq^ ± 1 (mod. 8), 



während pq^d) (mod, 8) ist. Folglich ist z gerade. 



Aus der Gleichung (5) ergibt sich dann das System 



.V ±y - 2sa~, x + y = Atb- , .x~ + ^ =- 2rc- , (6) 



wo a, b, c paarweise teilerfremde Zahlen sind; a und c sind ungerade; 



ferner ist rst = pq und z = Aabc. Durch Elimination von x und y ergibt 

 sich aus (6) 



s^a^ + At-b^ = rc-. (7) 



Wir haben nun eine Reihe von Fällen zu unterscheiden. 



1) Es sei s = p, t =^ q und >• = 1 , Dann läfst sich die Gleichung (7) 

 so schreiben 



4,^2^4 -_^ f2 — p-a^ = ic + pa-) (c — pa^). 



Hieraus folgt 



c ± pa- = 2q^e^, c+pa^ = 2d'^ , 



oder ± pa~ = ep-e^ — d^ , 



/± p\ 



was unmöglich ist, da = — 1 ist. 



W/ / 



2) Es sei 5 ^pq, t=r= 1. Dann läfat sich die Gleichung (7) 

 so schreiben 



4^4 = ^ _ /»Vrt^ ^ ic + pqa~) (c — pqa^). 



