TRYGVE NAGELL. M.-N. Kl. 



Hieraus folgt 



c ±p(ja^ = 2c^ , c + pgii^ = 2d^ , 

 oder ± p<]a~ = c^ — d^ . 



Diese Gleichung ist von derselben Form wie (5); da aber a ungerade 

 ist, so ist sie unmöglich. 



3) Es sei s = ^, / = /) und r = 1. Dann läfat sich die Gleichung (7) 

 so schreiben 



^/2^4 = c2 _ 4^2 /,4 = (^. + 2p b'^) (c — 2p b-). 



Hieraus folgt 



c ± 2pb'^ = q-c^, c + 2pb^ = d^ , 

 oder ± Apb'^ = if-c'^ — d^ , 



was unnuJiflich ist, da = — 1 ist. 



\ -/ / 



4) Es sei s = 1 , t^p und ;' = r/. Die Gleichung (7) wird dann 



r?4 + 4/)2// = y<:2^ 



was unmöglich ist, da — = [ — | = — 1 ist. 



\P) Vi) 



5) Es sei s — p , t ~--~ 1 und r ^ q. Die Gleichung (7) wird dann 



p\\^ + \b^ = qc^ , 



was unnujglich ist, da | — = — 1 = — 1 ist. 



Die Möglichkeiten r = p oder = pq sind natürlich ausgeschlossen, da 

 /) = — 1 (mod. 4) ist und daher in .v^ + y^ nicht aufgeht. 



6) Es sei s =^ 1 , t =^ pq und ?' ^ l . Dann lä&t sich die Gleichung (7) 

 so schreiben 



«4 = ^2 _ û,pl(j2y^ = [c + 2pqb~] [c -^ 2pqb~). 

 Hieraus folgt 



c ± 2pqb~ = 6-4, c + 2pqb- - d^ , 

 oder + pq{2b)- = e"" ~d^ . (8) 



Diese Gleichung ist von derselben Form wie (5). Es ist aber z = Aabc , 

 also z^_Ab. Dies ist aber unmöglich; denn wäre die Gleichung (5) möglich, 

 so würde es eine kleinste positive Lösung z geben. Der Satz II ist damit 

 bewiesen. 



