24 TRYGVE \AGELL. M.-N. Kl. 



Es sei a^, a^, , a^ ,„| ein îrduzicries Restsystciu iiioditlo u luid 



b.^, b.-,, ^(Aci\ ^"' reduziertes Restsysteni modido d, iveim d ein Teiler 



w [n) 

 von n ist. Dann ^ibt es eenau , , voti den Zahlen a, die denselôen Rest 



rpid) 



hk modulo d lassen. 



Denn es gibt für jedes bk wenigstens eine der Zahlen a, die der Kon- 

 gruenz x = bk (mod. d) genügt. Ist nämlich ök nicht prim zu n, 3; hat ök 



die Primzahlen p^, Pi, , Py gememsam mit -^ = p^ po pz , dann 



ist doch die Zahl 



Pi Pi' Py 



prim zu n und zugleich -rzbk (mod. d\. 

 Es seien nun 



^.vV^.v.,. .^.v. (1) 



die sämtlichen derjenigen Zahlen a, die = <^fc (mod. r/) sind. Wenn /;,■ eine 

 andere der Zahlen b ist, so ist für ein gewisses ;;/ 



bk bm = /-'; (mod. d). 



Nun gibt es, wie soeben gezeigt wurde, wenigstens eine Zahl a,, unter 

 den Zahlen a , die = bm (mod. d) ist. Dann ist also 



bkO^^^bi (mod. r/). (2) 



Die Zahlen 



^/*«.vi. «/. ''.IV ><^fl"xr (3) 



sind folglich = /^/ (mod. <"/); sie sind ferner unter einander inkongruent 

 modulo ;/, und sind also modulo ;/ kongruent r verschiedenen der Zahlen a. 

 Es gibt weiter keine andere Zahl a, die = A,- (mod. d) ist. Denn ist 

 a^.^bi (mod. d), so ist für ein gewisses Å 



<7,, = a II (7; (mod. 7/), 

 oder wegen (2) bi^a^i a^ —a^i bk (mod. d}, 



und also a^ = bk (mod. d), 



d. h. ^7; mufe gleich einer der Zahlen (1) sein, und ^,, ist folglich kongruent 

 einer der Zahlen (3) modulo ;/. Die Anzahl derjenigen der Zahlen a, die 

 — bi (mod. d) sind, ist folglich auch gleich r. Der Hilfsatz ist damit bewiesen. 



