1923. No. 13. ZAHLENTHEORETISCHE NOTIZEN. I VI. 05 



Wir nehmen zuerst an, daii n und c relative Primzahlen sind. Wie 

 viele von den Zahlen a modulo ;/ besitzen dann die Eigenschaft, daft auch 

 a -^ c prim zu // ist? Da c prim zu ;/ ist, können wir a durch ac ersetzen. 

 Die Frage wird dann: Wie viele von den Zahlen a -f I sind prim zu //? 

 Die Antwort hierauf ist aber durch das ScHEMMEL'sche Resultat gegeben. 



Es sei nun 



" =Pi />i Px ■ 7 , 



c — tx Pi Px ■ t, 



wo T prim zu c und / prim zu // ist. Die Primzahlen /)^ ,/>., , ,/>v sind 



sämtlich verschieden, und a,^0, ßi^O. Wie viele von den Zahlen 

 a -^ c sind hier prim zu ;/? Da / prim zu // ist, können wir a durch nf 

 ersetzen. Es kommt also darauf an zu bestimmen, wie viele von den Zahlen 



'' - Px pf- Px 



prim zu // sind, oder, was oftenbar dasselbe ist. wie viele von diesen Zahlen 



prim zu T sind. Dem Hilfssatze zufolge gibt es genau Zahlen n, die 



(f [ I ) 



die denselben Rest b modulo T geben. Da aber T durch keine der Prim- 

 zahlen px< p2< Av teilbar ist, können wir modulo T die Zahl h durch 



px '/., ' px'^ b ersetzen. Die Frage wird also : Wie viele von den 



Zahlen /; — 1 sind prim zu T, wenn b ein reduziertes Restsystem modulo 

 T durchläuft. Setzen wir 



T= <h 'li' <!-. . 



wo (Ji, </.i, , </- verschiedene Primzahlen sind, und wenden wir den 



ScHEMMELschen Satz an, so finden wir somit für die gesuchte Anzahl 

 den Wert 



(//1 A, - 1 ^ rV, - 1 ^ <v - 1 



{(/, - 2Mv., — 21 {(/- — 21 



oder ti{n\-— . (4l 



' t^l 1 My._, 1 I ('/: 1 I 



Die Zahlen «/i . '/o , </- bezeichnen hier diejenigen Primteiler von // , 



die in c nicht aufgehen. Diese Formel gilt auch wenn n = T ist, d. h. wenn 

 ;/ und c relative Primzahlen sind. 1st T =^ 1 , so ist die gesuchte Anzahl 

 offenbar gleich r/ in). 



