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Einleitende Bemerkungen über die in einem Körper 

 vorkommenden Ringe. 



Dekanntlich besitzt man eine ausführliche Theorie derjenigen Ringe in 

 einem algebraischen Zahlkörper K, die im Ringe g der ganzen Zahlen des 

 Körpers enthalten sind. Es gibt natürlich auch viele andere, u. a. auch um- 

 fassendere, Ringe ; für die Eigenschaften dieser letzteren Ringe hat man sich 

 aber — so viel ich weife — nicht so sehr interessiert. Ich will sie des- 

 halb im folgenden etwas näher betrachten. 



Es scheint doch z. B. interessant zu sein zu bemerken, daß es leicht 

 ist solche Ringe anzugeben, die vom Ringe g nicht sehr viel verschieden 

 sind (nämlich durch Adjunktion einer Zahl d daraus entsteht, wie später 

 erläutert wird), und innerhalb welcher die gewöhnlichen Teilbarkeitsgesetze 

 gelten, ohne daß es nötig ist die Ideale einzuführen. Am einfachsten kann 

 man dies erreichen mit Hilfe des folgenden Satzes, der bekanntlich gewöhnlich 

 dazu dient, die Endlichkeit der Anzahl der Idealklassen in g zu beweisen '. 



„Ist s eine beliebige Zahl des Körpers K, so lä6t sich eine ganze 

 Zahl II dieses Körpers und eine positive ganze Zahl // so bestimmen, data 

 die Norm der Zahl hZ — /' absolut kleiner als 1 ist; dabei is. // nicht 

 größer als eine positive ganze Zahl ///, welche, von 'I. unabhängig, nur 

 vom Körper selbst bestimmt ist". 



Wenn man will, kann offenbar die Zahl /// auch unabhängig von » so 



gewählt werden, data // immer im /// aufgeht. Tut man dies, und betrachtet 



'-> . 



man dann den Inbegrifl aller Zahlen der Form — , H Zahl in ^, u be- 



liebige ganze rationale Zahl, so sieht man, dafe dieser ein Ring ist, und 

 außerdem gilt nach dem eben angegebenen Satze in diesem Ringe der 

 euklidische Algoritmus zum Aufsuchen des grölaten gemeinsamen Teilers. 

 Dabei wird natürlich die Teilbarkeit in diesem Ringe wie sonst in Ringen 

 so definiert: Eine Zahl a des Ringes heität durch eine andere Zahl ô des 



Ringes teilbar, wenn — eine Zahl im Ringe ist. Für die Zahlen der Form 

 n 



' P. Bachmanx, Allgemeine Arithmetik der Zahlenkörjjer, S. 191. 



