TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



— gelten also die arewöhnlichen Teilbarkeitsgesetze. Führt man die Ideale 

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und die Idealklassen ein, so kann dies auch so ausgedrückt werden, daß 



die Zahl der Idealklassen in diesem Ringe = 1 ist. 



Nun enthält allerdings dieser Ring gebrochene rationale Zahlen, und 

 deshalb können die Zahlen des Ringes nicht als eine mögliche Erweiterung 

 des Begriffes der ganzen rationalen Zahl angesehen werden ; dies ist wohl 

 der Grund dazu, dafe man sich nicht für solche Ringe interessiert hat. Dann 

 kann es aber angebracht sein zu bemerken, dafa man in jedem algebraischen 

 Zahlkörper Ringe angeben kann, die alle ganzen rationalen, aber keine 

 gebrochenen rationalen, Zahlen enthalten, während aufserdem die gewöhn- 

 lichen Teilbarkeitsgesetze darin gültig sind (Die Zahl der Idealklassen = 1). 



Ich will im folgenden versuchen eine allgemeine Übersicht über die in 

 einem Körper K überhaupt vorhandenen Ringe zu geben, welche die ganzen 

 rationalen Zahlen enthalten. 



Zuerst will ich aber noch einige vorbereitende Betrachtungen anstellen. 



— Es sei Ä' ein Normalkörper. Dann kann man Ringe R in K von 

 folgender Beschaflenheit betrachten : 



1) Jede ganze rationale Zahl gehört zu R. 



2) Keine gebrochene rationale Zahl gehört zu R. 



3) Sämtliche Konjugierten einer Zahl in R sind auch Zahlen in R. 

 Wenn ein Ring die dritte Eigenschaft hat, kann man ihn passend Nor- 



malring nennen. 



Es ist leicht zu sehen, daf3 unendlich viele solche Ringe vorhanden 

 sind (von dem trivialen Fall abgesehen, da K der absolute Rationalitäts- 

 bereich ist). Man kann nämlich folgendes beweisen : 



Satz 1 . Es sei g der Ring oller ganzen Zahlen eines Noriiialkörpers K. 

 Es gibt unendlich viele in g enthaltene Nornialringe und zwar solche, die 

 n-gliedrige Moduln sind, nuim g selbst n-gliedrig ist. 



Beweis: Es sei o ein Normalring, der in g enthalten und w-gliedriger 

 Modul ist. Es sei ((o^ , • • • , fo„) eine Basis der Zahlen in o. Weiter seien 

 ojj' • • • <i> n solche lineare homogene Funktionen mit ganzen rationalen 

 Koeffizienten der Zahlen (o^ • • • oj„ , dafà die zugehörige Determinante 

 absolut ^ 1 ist. Dann bilden die Zahlen w^' • • • o)n die Basis eines Ringes o^ , 

 der ein echter Teil von o ist. Es kann sein, dafe o^ kein Normalring ist; 

 dann ist aber das kleinste gemeinsame \'ielfache der zu o^ konjugierten 

 Moduln ein Normalring o' , der auch bekanntlich ein «-gliedriger Modul 

 wird, und o' ist à fortiori ein echter Teil (ein Vielfaches) des Ringes o. 

 Jeder in g enthaltene Normalring enthält also einen kleineren Normalring. 



Bekanntlich ist g selbst ein Normalring. 



Satz 2. Der Ring g ist der uin/assendste unter allen, welche die Eigen- 

 schaften 1), 2) und 3) haben. 



Beweis: Es sei R ein Ring mit den Eigenschaften 1), 2) und 3) und 

 *9 eine Zahl in R. Die zu ß konjugierten Zahlen ß' , i)" , • • sind nach 3) auch 



