1 923- No. 21. IXTEGRITÄTSBEREICHE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 5 



Zahlen in R. Folglich sind die elenientars\-nimetrischen Funktionen von 

 a, tf', • • Zahlen in R und sind also nach 1 1 und 2) ganze rationale Zahlen. 

 Folglich ist Î) eine ganze algebraische Zahl, sodafe R in g enthalten sein muß. 



In einem quadratischen Körper ist jeder in g enthaltene Ring der 

 Eigenschaften II und 2) auch ein Normalring, wie man sofort einsieht. 

 Andererseits gibt es, ZL<eiin der Körper K zceiiigsfeiis vom dritten Grade ist, 

 imendlicli viele in g enthaltene Ringe der Eigenschaften 1) und 2), die nicht 

 die Eigenschaft 3) haben. Ich will dies für den Fall eines zyklisch kubischen 

 Körpers zeigen. 



Ich betrachte den kubischen Körper, der von einer Wurzel ë der 

 Gleichung 



f)^ -r ad ^ b = 



erzeugt wird, wobei — Aa^ — 27/^- = J-, a, b und J ganz rational. Ist Üq 

 eine der Wurzeln, »"^^ eine andere, so hat man 



— 3^7 fhr -- (6/> - (-1 /V^, — la- 

 ll, ^= : . 



wenn 3/; — J = 2c gesetzt wird. Ist also z. B. ^a nicht durch J teilbar, so 

 ist schon der Ring /((Vi, bestehend aus allen ganzzahligen Polynomen von d , 

 ein Ring in g, der wohl alle ganzen rationalen Zahlen enthält, aber nicht 



die Eigenschaft 31 hat. Ist aber /((Vi ein Normalring, sodaß — ganz ist, 



so kann man die Ringe I{ad) betrachten, « ganze rationale Zahl. Setzt 

 man t =^ aÜ , so ist 



■r' -t- aa- t -f brß = , 



und zwischen zwei Wurzeln t^ und t^ besteht die Relation 

 _ — 3a a- Tq- + {6b -i- c) a^ Tq — 2a~ «"* 



Also gehört t, nur dann zu /(t„I, wenn -^ çanz ist. Wenn also voit 



Ja " 



einer endlichen Zahl von Ausnahmewerten von a abgesehen wird, hat 

 liaifi nicht die Eigenschaft 31. 



Wenn K Normalkörper war, konnte der Bereich g der ganzen Zahlen 

 in K dadurch charakterisiert werden, data er der größte Ring mit den 

 Eigenschaften II, 21 und 31 war. Ist aber K kein Normalkörper, so sei 

 Ä' der kleinste ihn enthaltende Normalkörper. Dann kann der Bereich g 

 der ganzen Zahlen in K, wenn man will, dadurch charakterisiert werden, 

 dafe er der gröfste gemeinsame Bestandteil von Ä' und g ist, wobei g der 

 Ring der in Ä' enthaltenen ganzen Zahlen ist, und g ist also in der schon 

 angegebenen Weise charakterisiert. 



