TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



^s 2. 



Die Ringe, die aus ^' durch Adjunktion einer oder mehrerer 

 Zahlen entstehen. 



Definition: Wenn o ein in g enthaltener Ring ist (eine „Ordnung"'), 

 so soll {&) 'derjenige Ring bezeichnen, der aus allen Polynomen von & mit 

 Koeffizienten in o besteht. Entsprechend sind die Bezeichnungen oit'/^,»^.,) 

 usw. aufzufassen. 



Satz 3. Es seien y.^- • • Xm teilerfreiiide Ideale in g. Die im Körper 

 K enthaltenen Zahlen t der Form 



a beliebiges Ideal in g, a^ • • • fim ganze rationale Zahlen, bilden einen Ring. 



Beweis: Daß diese Zahlen sich durch Multiplikation reproduzieren, ist 



offenbar. Wir müssen aber die Summe zweier Zahlen dieser Form be- 



trachten. Es seien t, = — , t., = — - und 

 ( e^) = a /, , {oj, ) = X,'" • • • x,,/"" I, , ( (-), ) = bl,, (oK,) = y./' • • • hJ'" l, . 



Dann istr, + r., = -^^^-^^^^^^^ , während Uo.ok.) = y.,'''+^' ■ ■ ■y.m""' + ^"' IJ.; 

 außerdem gibt es ein Ideal c, so daf3 



(ß^ o).^ + fK (o^) = c I^ I.,; 

 denn die Zahlen f)-^ w., und ^-A^ ot^ kommen beide im Ideale /^ /^ vor. Also ist 



(Ti + T.J 



Satz 4. Der Rim^ der Zahlen r der Form 



a 

 (t) = — 



y/' 



{a beliebige ganze rationale Zahl, a und x Ideale in g, y fest gewählt), stimmt 



fiberein mit dem Ringe g {ß) , [û) =^ - , <j imd y teilerfreindc und äqniva- 



y, 



lente Ideale. 



1 Dirichlet-Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie, Vierte Auflage, S. 50^. 



