1923. No. 21. IXTEGKITÄTSBERKICHE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 7 



Beweis: Es sei / ein solches Ideal, dafj x" À ein Hauptideal = {o)) 

 wird; dann ist auch n /. ein Hauptideal — (t'i. Weiter o"/. = (t). Die un- 

 bestimmte Gleichung 



t' = i T + )} (I) 



ist dann in Zahlen ^ und tj in g lösbar; der gröfate gemeinsame Teiler 

 von j und <o, nämlich /. , geht ja in i' auf. Also wird 



— = S H V . 



CO f) 



so dal3 die Zahl — zum Ringe i;(/V) gehört. Umgekehrt ist augenscheinlich 



jede Zahl des Ringes g\i)) als ein Idealbruch der Form — darstellbar. 



Satz 5. Es sricji Xy und x., tcilcrfrcmdc Ideale, x -^ x^ x.^ . Der Ring 

 ^(<?), (t/l = -=- , o und X teiler fremd, ist daini niit dem Ringe gi'fy, 'K^) 



identisch, zceini [i)^) = ^^ , (/>.,) = ^^ , o^ prim zu x^, und o., zu o^ und 

 Xy x.^ 



X.2 prim. 



Beweis: Es seien die Ideale /^ und /^ so beschaffen, daf3 x^ /^ — Ud^), 



y.o /•., = [(i)J , Oy /^ = (Tj), Oo /._, = (t.,). Weiter sei l^ /.^ — /. Dann ist 



x/ Hauptideal = Uo), (d = »d^ o>., , o À — Ir). Weiter sind die unbestimmten 



Gleichungen 



in dem Sinne lösbar, dafs ^^ , i^., , |, >;, |', >/' Zahlen in g werden, denn 

 der gröfate gemeinsame Teiler der Zahlen t^ o>., und t^ o^ , nämlich / , geht 

 in T auf, und der gr. gem. Teiler von t und w, nämlich /, geht sowohl 

 in (').y Ty wie in o^ r., auf. Man erhält also 



(O (1). (l)c> (I), <t> (Di, (1) 



d. h. ff ist in g [d^, ß^) enthalten, und umgekehrt enthält ^'^(»'^1 sowohl /V, 

 wie ß., . Folglich g{ß) = g {ß^ , ,V., ) . 



Anmerkung: Die Voraussetzung, dafs a, zu Oj prim sein soll, kann 

 aufgehoben werden. Denn ist nur Oj zu x^ , o., zu x., , <> zu x prim, so 

 kann man inmier ein Ideal o.,' finden, das '-^ o., ist, und auf3erdem prim 



zu OyX.,. Es sei {ßj) - =-=- . Dann ist nach Satz 5 giß) — gißi, ß-^ )• 



Nach Satz 4 ist aber ^(//..'l = j?-!»^.^). Folglich giß) = giß^. ß.). 



