TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Man hat selbstverständlich folgende Erweiterung des Satzes : 



Satz 6. Der Ring g (ß), {ä) = — , o und y. trilcrfrniid, y. ^ y.^ y.., • ■ • y.„,, 



alle y.r teilerfreuid, ist mit dem Ringe gi/^i, i'Kj, • ■ • , i'Ku) identisch, ivenn 

 o 



{ßr) = ^ , Or imd y.r teiler/renid. 



Satz 7. Der Rins^ p {iï\ , i) = =^ , o zu x. • ■ • y,n teilerfrentd, 



y-\ y-m 



alle Xr teilerfremd y ist gleich dem Ringe giß^, •■ • , ßm), i^r) —- ^^ {>' = 1 , 2, • • • , ///), 



Xr 



Qr und Xr tcHcrfremd. 



Beweis : Die Richtigkeit folgt sofort aus den Sätzen 4 und 6. 



Satz 8. Der Ring der Zahlen t von solcher Art, so daß (r) ein Ideal- 



briich der Form ist, die 7t verschiedene Primideale, ist mit 



-r "1 . . . -T ''"i 



dem Ringe giß-i, ■ • • , ßm) identisch, iveim \Hr) = ^^ , Qr durch :Tr nicht teilbar. 



Beweis: Erstens ist jede Zahl des Ringes ^^(''^i, • • • , >'hn) offenbar als 



Idealbruch der P'orm darstellbar. Es sei zweitens eine be- 



liebige Zahl T gegeben, wobei (r) ^= . Wir können hier an- 



-r "l . . . -T '^'■f" 

 - ' X ' ' '71 



nehmen, dafa dieser Idealbruch irreduzibel ist, d. h. a durch kein .t teilbar. 

 Nach Satz 7 ist dann t im Ringe g{ß\, • • • , i'hi^ enthalten. 



Satz 9. Jeder Ring g{i) , i) ',•••, i)" ) ist mit einem Ringe g{ß) 

 identisch. 



Beweis : Es sei für jedes ;' 



ß = , ar durch kein Tir $ teilbar. 



Hr, 1 (U, m. ' 



Dann ist nach Satz 8 g{ß^'^) = g ißr,\, ■ ■ ■ , ßr,m^), wenn 



Ors 



ßr s = ^-^ , (5 = 1 , 2, • • • , nir), Or s durch .-fr s nicht teilbar. 



Folglich ist g{ß^'\ • • • , ß'") = giß^,,,- ■ ■ , ßn.n,„ I. Diejenigen ßr,s, 

 welche denselben Primidealnenner haben, geben aber nach Satz 4 zu dem- 

 selben Ringe Anlaf3, d. h. wenn [ß^] = — , [ßc,) = — , so ist ^('^i) = g{ß.-,)- 



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In der Reihe der Zahlen 'V^ , ^ • • • (9„. nt„ nach dem Zeichen g können des- 

 halb so viele weggelassen werden, daf? nur Zahlen (V mit verschiedenen 



