1923. No. 21. INTEGRITÄTSBEREICHE IX ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN 9 



Nennern übrig bleiben, oder besser ausgedrückt: Sind rr^ • ■ ■ rr,, alle in 

 den Zahlen i'f vorkommenden Primidealnenner, so braucht unter denjenigen 

 if, die den Nenner .Tr(/' = !,•••, /'1 haben, nur ein einziges, ßr, ausge' 

 wählt zu werden. Hierdurch wird dann 



g{>'}^'\ ■ ■ ■ , //"') ^iM/Vi, »V... • • ■ ,7„|. 

 Nach Satz 6 ist aber wieder 4,'- l*Vi , • • • , ''^."1 = A*"'''^*, wenn {if) = — 



• • .-Tfi 



und o so gewählt ist, daf^ kein rr darin aufgeht. 



Die Adjunktion endlich \ieler Zahlen zu i,'" kann also immer durch 

 die Adjunktion einer einzigen Zahl ersetzt werden. 



Betrachten wir aber den Fall, da unendlich viele Zahlen h , f) ■ • • 

 adjungiert werden. Wenn diese (oder genauer die entsprechenden Haupt- 

 idealbrüche) als irreduzible Idealbrüche geschrieben werden, können zwei 

 Fälle eintreten : Erstens kann sein, dafa in den Nennern dieser Brüche nur 

 endlich viele verschiedene Primideale -t^ • • • rii, vorkommen. Dann ist wie 



früher i^\ti , i'f ",••■) = i,^ii)), wenn (//) = ^ , o durch kein rr teil- 



.T^ • • • .-Tu 



<>r . 



bar, oder auch, wenn man will = i{iif, , • ■ • , ifu), *Vr =- -^-1/. == 1, 2, ■ • • , n) 



Or durch Ilr nicht teilbar. Zweitens können in den Nennern unendlich viele 

 verschiedene Primideale rr^, .x, • • • auftreten. Ist dann für jedes r, Or durch 

 TTr nicht teilbar und Or^^.T^, so sieht man ohne Schwierigkeit ein, dafa 



^■{ß^'\ n'-\ • • • I - i^iti^, />.,, • ■ • I, wenn \iK) = — l'' = 1 , 2, • • • ). Dagegen 



^r 



ist es hier nicht möglich eine Zahl zu finden, so dafs gi/^i, »^.i» " ' ' ' ^^ ^'''^' 

 wäre; denn wird l»V) als irreduzibler Idealbruch geschrieben, so kommen im 

 Nenner blofe endlich viele Primidealfaktoren vor, und nur diese können 

 dann im Nenner einer beliebigen Zahl in ^'('Vl auftreten, wenn sie als 

 Idealbruch geschrieben wird. — Wir können aber folgende Sätze aufstellen : 

 Satz 10. Für jcdai Ring besteht die Identität 



g{ß^'\ ,V<2>, . . .) = -09,, /9,, •• •). 

 icenn l*9rl = ■^=— (r =^ 1 , 2, • • ■ I, Or durch rr, nicht teilbar, und die rr, die 



rr, 



M 



in der Nennern den Zahhii li vorkomnienden verschiedenen Priniidealfak- 

 toren sind, xvenn diese Zeihhu als Idealbrüche gesehrieben Kcrdoi. 



Satz 1 1. Der Rim^ gii'f^ . /7.,, • ■ • ), /V, — (r - 1 , 2, • • • I besteht aus 



rrr 



allen Zahlen der Form 



-T, " .T., 



