TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Falls unendlich viele jt. vorhanden sind, sind natürlich alle a von einem 

 gewissen Index an = 0. 



Ringe g {ii\, (V.2, • • • ) oluie gebrochene rationale Zahlen. 

 Satz 12. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß in 



einem Ringe g (ß^, ß.2, • ■ ■) , t)r= ^^ , keine rationale gebrochene Zahl vor- 



konnnt, ist, daß unter den Priinidealen .t^, .t., • • • nie alle Priviidcalßaktoren 

 einer beliebig gegebenen rationalen Zahl vorlonnnen. 



Beweis: Kommen in der Reihe -t^, .t., • • • alle Primidealfaktoren einer 

 rationalen Primzahl /> vor, so dafs 



ip) = JT,''^ jr/'^ ■ ■ ■ .T,„'"" , 



so ist — eine Zahl des Ringes gii^^, />., , • • • ), d. h. der Ring enthält ge- 

 brochene rationale Zahlen. 



Es werde jetzt im Gegenteil angenommen, daß nicht alle Primideal- 

 faktoren einer beliebigen rationalen Primzahl p in der Reihe tt^ , .Xj • • • vor- 

 kommen. Betrachten wir eine gebrochene rationale Zahl 



A 

 B' 



so können wir A und B teilerfremd voraussetzen. Zerlegt man dann A 

 und B in ihre Primidealfaktoren in g, so entsteht ein irreduzibler Ideal- 

 bruch. Im Nenner kommt aber dann sicher mindestens ein Primidealfaktor 

 TT vor, der von allen Prim idealen jt^, -Tj • • • verschieden ist. Folglich kann 



— keine Zahl des Ringes sein (Satz II). 

 B 



Satz 12'. Es 



ß = '-?- 



h eine natürliche quadratfreie uiul zur Körperdiskriniinante teilerfrenide Zahl, 

 )] eine Zahl in g, zvelche durch keine der in h aufgehenden rationalen Prim- 

 zahlen in g teilbar ist. Die /lotivendige und hinreichende Bedingung daßür, 

 daß in g {&) keine gebrochenen ratioi/alen Zahlen vorkonunen, ist dann, daß 

 die Norm von )], Ny , durch h teilbar ist. 



N)] 

 Beweis: Da die Zahl — — zu^OV) gehört, ist die Bedingung notwendig. - Ist 



N)] . ... - 



umgekehrt — — - eine ganze Zahl, so mufe bekanntlich jeder Primiaktor p 



von // innerhalb g m mehrere Primidealfaktoren zerfallen, welche aulaerdem 

 alle von einander verschieden sind, da h zur Grundzahl des Körpers teller- 



