19^3- No. 2 1. INTEGRITÄTSBEREICHE IN ALGEBRAISCHEN ZAHI.KÖRPER.N. 11 



fremd ist. Wird deshalb der Bruch — als irreduziblcr Idealbruch — dar- 



// y. 



gestellt, so ist x das Produkt von lauter verschiedenen Primidealen, und 

 außerdem können nie alle Primidealfaktoren eines Primfaktors p von // 

 darunter vorkommen ; denn wäre das der Fall, so wäre ^ zu p und folglich 

 auch N )] zu p teilerfremd. Nach Satz 12 folgt also, daß keine gebrochene 

 rationale Zahl in g^ih vorkommen kann. 



Übrigens mufs auf der anderen Seite in y. mindestens ein Primideal- 

 faktor jedes Primfaktors p von // vorkommen ; denn sonst müßte /; durch 

 p teilbar sein. 



Anmerkung: Falls der Zahlkörper quadratisch ist, braucht // nicht 

 quadratfrei vorausgesetzt zu werden. Denn jeder natürliche Primfaktor p 



von // zerfällt, wenn — — ganz ist und // zur Grundzahl des Körpers teiler- 

 fremd, im Körper in das Produkt zweier verschiedener Primideale, p = .t.t', 

 und )] kann nicht auf einmal durch .t und .t' teilbar sein, da sonst p in >/ 

 aufgehen müßte. Ist />" die höchste Potenz von /> , die in // aufgeht, so 

 muf3 j/ durch .t teilbar sein ; denn sonst wäre X )] nicht durch p teilbar. 



Folglich enthält der Idealbruch — im Nenner den Primidealpotenzfaktor 



71 , aber .t kommt in y. nicht vor. Nach Satz 12 enthält also ^('V) keine 

 gebrochenen rationalen Zahlen. 



Für Körper höheren Grades ist es dagegen nötig // quadratfrei vor- 

 auszusetzen. 



Mit Hilfe des Satzes 1 2 ist es auch möglich eine Übersicht darüber zu 

 erhalten, welche maximale Ringe vorhanden sind, die keine gebrochenen 

 rationalen, wohl aber alle ganzen rationalen, Zahlen enthalten. 



Jeder Ring dieser Art entsteht durch Adjunktion unendlich vieler 

 lir zu g, wobei einerseits unter den Primidealen .t^ mindestens ein Prim- 

 idealfaktor jeder natürlichen Primzahl p vorkommen muß, andererseits aber 

 nie alle Primidealfaktoren von /». In der Reihe der n kommt daher kein 

 solches Primideal tt vor, daß (/>) = .t" ist. Da aber immer unendlich viele 

 natürliche Primzahlen innerhalb g durch mehrere verschiedene Primideale 

 teilbar werden, so gibt es im Körper in mengentheoretischer Ausdrucksweise 

 )i{clit abzahlbar iiiioullich viele maximale Ringe der erivalmfeii Eige/isclia/f. 



Es seien jetzt zwei Körper k und A' gegeben, K Oberkörper in bezug 

 auf k; G und g seien bezw. die Ringe der ganzen Zahlen in K bezw. Ic. 

 Außerdem sei der Ring g{i)i, >'Ky • • •) in k gegeben, der die gebrochenen 

 rationalen Zahlen ausschließt. Ich behaupte, daß dann auch 6' (»^j, »V., • • • ) 

 alle gebrochenen rationalen Zahlen ausschließt. 



Beweis: Wir können nach früheren Sätzen annehmen, daß die Zahlen 



'^1' i^-2 < ' ' ' so gewählt sind, dafî, wenn wie trüber (*Vrl =^ gesetzt wird, 



y-r 



