TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



alle Hr paarweise teilerfremd sind und aufserdem Xr gleich dem Produkt 

 einiger der in einer natürlichen Primzahl p aufgehenden verschiedenen Prim- 

 idealen, aber so, dafs nie alle diese Primidealfaktoren in y.r auftreten. In G 

 bleibt entweder ein Primideal in g noch ein Primideal oder zerfällt w'eiter. 



Or 



Auiaerdem bleibt ^^ auch in G ein irreduzibler Idealbruch, und überhaupt 

 y.r 



bleiben relativ prime Ideale in g auch in G relativ prim. Folglich behält 



die Reihe der dr auch diejenige Eigenschaft, welche bewirkt, daß in 



G {i\, lie,, • • } keine gebrochene rationale Zahl auftreten kann. 



Mittels einer unendlichen Reihe solcher Übergänge zu immer gröfaeren 

 Oberkörpern kann man den Bereich aller algebraischen Zahlen erhalten. 

 Folglich gibt es auch innerhalb dieses Bereichs gewisse Integritätsbereiche 

 B folgender Beschaftenheit : 



1 ) In ^ kommen alle ganze rationalen Zahlen vor und auch alle 

 algebraisch-ganzen. 



2) In B kommt keine gebrochene rationale Zahl vor. 



31 In B kommen unendlich viele algebraisch-gebrochene Zahlen vor. 



4( Jede algebraische Zahl läfk sich mit einer solchen natürlichen Zahl 

 multiplizieren, dafe das Produkt eine Zahl in B WMrd. (Folgt aus 1), 



Bezeichnet wieder wie oben K ein Oberkörper des Körpers k, während 

 G und g die Ringe der ganzen Zahlen in K bezw. k sind, so kann man 

 die Bedingung dafür suchen, daß in einem Ringe G((Vi, //.,, • ■ • ) keine 



gebrochene Zahl des Körpers k auftritt. Schreibt man wieder ((Vr)=— , 



'Tr 



die TTr lauter verschiedene Primideale in G, so ist die notwendige und 

 hinreichende Bedingung offenbar, daß in der Reihe der .t nie alle Prim- 

 idealfaktoren in G eines beliebig gegebenen Primideals in "■ auftreten. 



Durch analoge Betrachtungen wie die soeben angestellten gelangt man 

 deshalb auch zu dem Ergebnis, dafa im Bereiche aller algebraischen Zahlen 

 Integritätsbereiche B folgender Art vorhanden sein müssen: B enthält 



1 ) jede ganze Zahl des Körpers k und überhaupt jede ganze alge- 

 braische Zahl, 



2) keine gebrochene Zahl des Körpers k, 



3) unendlich viele gebrochene algebraische Zahlen. 



Im 75ten Bande der Math. Ann. hat E, Zermelo auf Grund des Aus- 

 wahlprinzips einen Bereich von Zahlen konstruiert, der dazu dienen soll, 

 „ganze" Zahlen überhaupt zu charakterisieren'; dieser Bereich G hat die 

 Eigenschaften : 



I. Summe, Differenz und Produkt zw^eier Zahlen aus G ist wieder 

 eine Zahl aus G. 



II. Jede reelle oder komplexe Zahl ist Quotient zweier Zahlen aus G. 



' Siehe auch : E. Xoether, Die allgemeinsten Bereiche aus gaizen transcendenten Zahlen, 

 Math. Ann. B. 77, S. 103. 



