1923. No. 2T. IXTEGRITÄTSBEREICHE IX ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 13 



III. jfde ganze rationale (bzw. algebraische) Zahl ist Element von G. 



W. Keine nicht-ganze rationale (bzw. algebraische) Zahl gehört zu G. 



Da aber, wie wir gesehen haben, genau analog gebildete Bereiche 

 innerhalb der Menge der algebraischen Zahlen gar nicht nur algebraisch- 

 ganze Zahlen enthalten, sondern in sehr ausgedehntem Mafse auch algebraisch- 

 gebrochene Zahlen enthalten können, so scheint es mir berechtigt zu be- 

 haupten, daß man in dieser IJ^eise zu einer passenden Einführnjig des Be- 

 griffes „ganze transcoidente Zahl" nicht gelangt. Eine andere Sache ist es, 

 dafs man auch gegen das Auswahlprinzip sehr berechtigte Einwände machen 

 kann, worauf ich aber hier nicht näher eingehen kann. 



In § I ist gezeigt, wie man die ganzen algebraischen Zahlen mittels 

 der Eigenschaften ihrer Ringbereiche charakterisieren kann; dabei wurde 

 aber von dem Begriff der konjugierten Zahlen Gebrauch gemacht. Solange 

 dieser Begriff nicht auf die transcendenten Zahlen übertragen ist, scheint 

 es mir deshalb zweifelhaft zu sein, ob man imstande sein wird in passender 

 Weise ganze transcendente Zahlen zu charakterisieren. 



s^ 3. 



Einheiten, Ideale und Idealklassen im Ringe g['\, i'Ky ■ • • ), IK =- ^^. 



■Tr 



Der Kürze halber bezeichne ^ den Ring giî^i, 'V., • • • ). Der Begriff 

 der Teilbarkeit in einem beliebigen Ringe ist schon Seite 3 erwähnt 

 worden. Da die Zahl 1 in ^' vorkommt, kann der Begriff der Einheit in ^'• 

 natürlich so definiert werden : Eine Zahl e in _§" heifst eine Einheit, wenn 

 sie in 1 aufgeht. 



Die Einheiten. 



Satz 13. Die Einheiten in g sind aUe, und mir diejenigen, Zahhii des 

 Körpers K, die in g als Idealbrüche der Form .t^"* .t.,"- • • • ///// ganzen 

 rationalen Werten der Exponenten a geschrieben loerden können. 



Beweis: Es sei r eine solche Zahl des Körpers, dafa 



(r) = :t;'' :7,"^ • • • , 

 wobei die a ganze rationalen Zahlen sind. 



Dann ist f-] = .t, " "« .t., - «^ • • • , 

 woraus man sieht, daß sowohl i wie — Zahlen in i/" sind. Folglich ist t 



T 



eine Einheit in g. 



