14 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Es sei andererseits 



n 

 (t) -- 



'<1 T «2 . . . 



■^1 -^1 



wobei in a mindestens ein Frimidealtal<;tor vorkommt, der von allen jj ver- 



( \\ T "' .T "- • • • 1 



schieden ist. Dann ist - = — ^^ — , sodafa offenbar - "icht zu ^- 



\ T / a T 



gehört, weil hier im Nenner ein von allen .t verschiedener Primidealfaktor 

 auftritt. T ist also in diesem Falle keine Einheit in g. 



Satz 14. Es sei «;^,j r/cr kleinste positive Exponent, für den ttj^"''' 

 ein Hauptideal wird. IVeiter sei für beliebige v, c/,, ,, der kleinste positive 

 Exponent, für den solche ganze rationale Zahlen a^, ,, a.^, ,,•••«,,_], ,, vorhanden 



sind, daß tj^ '' jt.^ "' ••• -t,,_ i ''-'''' .t,, ''' '' ein Haupt ideal ivird. Es 

 sei ((',.) — JTj^ ''*' • • • -7,, ''•'(>■ = 1, 2, • • • ). Dann bilden die Zahlen e^, e.^ • • • 

 ein in beziig auf g vollständiges System von Grundeinheiten in g, d. h. Jede 

 Einheit e in g ist von der Eorni 



II, ft, 

 c = F e^ ' e.^ - • • • , 



îvobei e eine Einheit in g ist, zuähre/zd h^ , h^ ■ ■ ■ beliebige ganze rationale 

 Zahlen sind. 



Beweis : Wenn .t^ ' .To ^ • • • rrm "' ein Hauptideal ist, mufs a,„ durch 

 am, m teilbar sein; denn dividiert man a,„ durch a^.m und schreibt 



, ^ ^ r 1 ^ ] r "l " Kl, m hm «2— «2, m/Zm 



«m =" fim , m hm + ^m , O ^ r„, <, «m , m, SO tolgt, dals JT^ .1^ 



• • • .-Tm "' ein Hauptideal sein muß, und folglich, der Definition von Gm, m 

 zufolge, Tm — 0. Also bekommt man 



«1 ((m , hm (i'i (i'm-\ 



^l • • • -Tm ^ U'm) -"Tj • • • rim -1 



Ebenso erhält man 



rt'i «'m-I / ,hm-\ «1" «i"m-2 



-Ti 



^m - 1 — yCm - 1 ) '"^i • • • ^m -2 



uzw. Durch Kombinieren aller dieser Gleichungen erhält man schliefàlich 

 das Resultat 



«1 Um , ,h\ hm u I ,.■ \ 



-^1 • • • .Tm = (^1) • • • iem\ , alle // ganz rational. 



Nach Satz 1 3 folgt hieraus sofort die Richtigkeit des Satzes 1 4. 

 Falls unendlich viele Ideale tt vorhanden sind, kann bemerkt werden, 

 daß die Zahlen «r, >■ von einem gewissen v an alle = 1 sein müssen. Denn 



