1923- No. 21. INTEGRITÄTSBEREICHE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. I 5 



die Gruppe der Idealklassen, die aus ^i ■ ■ • -t,. erzeugt wird, kann nicht 

 fortwährend wachsen, da die Gruppe der Idealklassen überhaupt eine endliche 

 ist. Es mufs also r einmal so groß werden, daft die Klassen der Ideale 

 -T,, ^1, ^,- -2< ' ' ' schon in der aus .t^ • • • .t,. erzeugten Gruppe ent- 

 halten sind. 



Satz 1 5. Jc(f<' Zahl in i^ kau// d/ircl/ M/zltipHkatio// /i/it v/'i/rr Eii/l/eit 

 in g, die z/igleicl/ ci//c Zahl i// g isf, i// ci//r Zahl i// g va"a'a/uiclt wci-dvi/. 



Beweis : Eine beliebige Zahl j in i,^ ist derart, daft 



(r) 



wobei die a positiv rational oder = Null vorausgesetzt werden können. Es 

 gibt ein Ideal .t/'' • • • :tJ"\ so daft .t/'» ^^'' • •• .t,«'"" ^Z^"" ein Hauptideal 

 wird, also n.^^^ '^'^ • - ■ .t,,/"" "^^'" = (r), wobei r eine Zahl in ^'- und nach 

 Satz 13 eine Einheit in i^»- ist. Weiter wird 



woraus ersichtlich wird, daft ic eine Zahl in g ist. 



Satz 16. Sind t^ ■ ■ ■ im endlich viele beliebige Zahle// ii/ g, so gib/ es 

 ei//c Ei//hiit e ii/ g, die a/ich ei//e Zahl i/i g ist, so beschaffen, daß die 

 Prod/iktc TrC {r ^ \ , • • • , ///] alle z/i ^ gehöre//. 



Beweis: Nach Satz 15 gibt es Zahlen f^ • ■■Cnt in g, die zugleich Einheiten 

 in g sind, so beschaffen, daft die Zahlen ir Cr alle zu g gehören. Es sei 



m 



e=ner\ dann ist auch e eine in g vorkommende Einheit in ^. Aufter- 

 dem gehören die Produkte TrC alle zu g. 



Die Ideale . 



Da nach Satz 15 jede Zahl in g assoziert ist (rel. zu ^1 einer Zahl in 

 g, kann man die Basiszahlen jedes Ideals in g als Zahlen in g wählen. 

 Diese Zahlen bilden dann zugleich die Basis eines zugehörigen Ideals in g. 

 In dieser Weise entspricht jedem Ideale ^ in ^ ein eindeutig bestimmtes 

 Ideal A in g, während umgekehrt jedem Ideale in ^^,wie ich näher zeigen 

 werde, mehrere Ideale in g entsprechen. Ich benutze im folgenden immer 

 die Bezeichnung A für das Ideal in g, das dem Ideal A in g entspricht. 



Es ist auch klar, daft jedes Ideal / in g eine endliche Basis besitzt. 

 Wählt man nämlich die Basiszahlen als Zahlen aus g und betrachtet das 

 durch diese Basiszahlen gegebene Ideal / in g, so hat jedenfalls / eine 

 endliche Basis, und diese ist dann auch eine Basis des Ideals / in g. 



