1 6 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Satz 17. Alts de?' Gleichung A =- B C folgt Ä = BC. 

 Beweis : Es sei A = i^^, ^^, ■ • • ), B = i)]^, i].^, • • • ), C = (Ci , C2 , • * * ) I 

 dann bedeutet die Gleichung A = B C, dafa Gleichungen der Form 



^r = ■^ l'r, s, t ^js 'Qt , ijs 'Ci = ^ ^r, s,t^r 

 r, s r 



bestehen, worin die ;- und die S Zahlen in g sind. Dann gehören diese aber 

 auch zu g , woraus A ^ B C sofort folgt. 



Satz 1 8. Ist A = .Tjl"^ -t.^"- • • • , die a iiicht-iiegidivc ganze rationale 

 Zahlen, so ist A =^ {])• 



Beweis: Es werde B = rrj'^ ^2^^' '' ^^ gewählt bei nicht-negativen ß, 

 dafs AB ein Hauptideal = ie) wird. Dann ist e eine Einheit in g (Satz 13). 

 Folglich nach Satz 1 7 



AB = 1^) = m, 



woraus Ä = B=m folgt. 



Satz 19. Ist A = {1), so gibt es solche nicht-negative Zahlen a, daß 

 A -- Jî/'i -t/"^ • • • ist. 



Bewe..s: Es sei A = ['^^, ^.^, • • • ]. Die Gleichung A =^ {\) ist dann mit 

 einer Gleichung der Form 



^1 'h' + I2 '// + •••=! 



gleichbedeutend, worin die Zahlen //r' zu g gehören. Da aber nur endlich 

 viele Basiszahlen und also auch Zahlen )/ vorkommen, gibt es nach Satz 16 



eine in g vorkommende Einheit e in g, so dafe die Produkte }]r e = i]r alle 

 zu g gehören. Man bekommt deshalb die Gleichung 



Il 3/1 + I2 'y.2 + • • • = r. 



Also ist das Ideal (e) durch A teilbar, und außerdem ist nach Satz 13 

 [e) = TT^^ :i^^ ■ • ■ . Hieraus folgt die Richtigkeit unserer Behauptung. 



Satz 20. Ist A -t/" 71^'^ • ■ • teilbar durch B jt/' tt/'^ • ■ • , so ist A durch B 

 teilbar, und ist umgekehrt A durch B teilbar, so gibt es solche nicht-negative 

 Zahlen a , daß A -t^"^ ti^'"-- • • • durch B teilbar ist. 



Beweis: Ist A tx^'-'' tt.j"^ • - • = B tt^^^ tt/'^ ■ ■ • C, so ist nach den Sätzen 

 1 7 und \8 A = B C, d.h. A durch B teilbar. Ist umgekehrt ^ = (li , t.j , • • • ) 

 durch B = Oy^, ;/., , • • • ) teilbar, so gelten Gleichungen der Form 



sr ^^ -^ C r, s ^y$) 



