1923. Xo. 21. INTEGRITÄTSBEREICHE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÔRPERN I 7 



worin die ^' Zahlen in g sind. Nach Satz 1 6 gibt es eine in g vorkom- 

 mende Einheit e in g, so da6 die Zahlen Ilr.s = C'r,$^ alle zu g gehören. 

 Gleichzeitiar wird 



t ir = 2^^r,s >js , ie) = .-Ti 



"« .T «* • 



und also ist A .Ti"» .t^*** • • • durch B teilbar. 



Satz 2 1 . Isf A -Ti«> .-T,«* • • = 5 .t/» .-T,^ • . • , so ist Ä = B, und ist 

 iimgekciirt A ^= B, gibt es solche nicht-negatiir a und ß, daß A .Tj**' .-t^, ***••• = 

 = B .t/» .t/» • - ■ ist. 



Beweis : Aus der Gleichung A .-Ti«» .t^''^ . . . = ß .-r/' .-t,'** • • • folgt, daß 

 die Ideale links und rechts gegenseitig durch einander teilbar sind. Nach 

 Satz 20 sind also A und B gegenseitig durch einander teilbar, woraus 

 A = B. — Andererseits folgt aus der Gleichung A = B . daß A und B 

 durch einander teilbar sind, und folglich erhält man nach Satz 20 Gleichungen 

 der Form A :r^''' :tJ^ ■ • = B C xmd B :tJ^ .t,^ = AD, woraus .t^"»^*» 

 .-T,^*~ * • •• ^ C D, so dafe C und D Produkte von Potenzen der rr sind. 

 Hieraus folgt die Richtigkeit der Behaupttmg. 



Satz 22. Ist ein Ideal A in g der Fortn P .-Tj"^ .-t,*** • • • . îvo P ein 

 von allai .t verschiedenes Pritnideal bedeutet, so ist A ein Primideal in g. 

 Umgekehrt ist jedes Primideal in g von dieser Form. 



Beweis: Ist A = B C. so ist nach Satz 21 A nj"^ .t/* • • • = 

 = BC .-t/' .-tJ^ • • • , d. h. 



P -V ~^' .-T,"*-'^^ ■'■ = BC .Tj: » .-T,:^ • • • . 



woraus folgt, da6 P entweder in B oder in C aufgehen mu6, z.B.B^PB^. 

 Dann ist C nur ein Potenzprodukt der .t und folglich nach Satz 18 

 C = ( 1 1. Also ist A Primideal in g. 



Ist andererseits A = P Q .t^ ■'* .t,"* • • - , P und Q zwei vom Einheits- 

 ideal verschiedene Ideale, die nicht Potenzprodukte der .t sind, so folgt 

 A =" P Q , wo nach Satz 1 9 weder P noch Q gleich dem Einheitsideal 

 in g sein können. Also ist in diesem Falle A kein Primideal in g. 



Wir können augenscheinlich dies so ausdrücken, da6 die von allen 

 n verschiedenen Primideale in g den Primidealen in g eindeutig entsprechen. 



Satz 23. Jedes Ideal I in g läßt sich, und zwar nur auf eine Weise, 

 als ein Produkt i'on Primidealen schreiben. 



Beweis: Es sei in g 



I = P/»P/^- •■ -V'-V'*--. 



Md.-Sebk. Skrifter. I. M.-N. KJ. 1923. No. 21. 2 



