iB TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



wobei P^,P^,--- die verschiedenen von allen .t verschiedenen in / auf- 

 gehenden Primideale sind. Nach den Scätzen 1 7 und 1 8 folgt 



/ = p''^i ^(1-1 . . . 



und hier sind A > A ' " ' ^^^^ Satz 20 lauter verschiedene Primideale in g. 

 Hierdurch ist jedenfalls / als ein Produkt von Primidealpotenzen dargestellt. 

 Es sei andererseits 



eine beliebige solche Dekomposition. Nach Satz 21 hat man dann 



/ :t/' .t./-' ■■' = Q/> Q/^ • • • .-T^y^ TT^r-^ .-. , 



und die Q können als verschiedene Primideale in g vorausgesetzt werden, 

 die außerdem von allen jt verschieden sind. Folglich müssen die Q von 

 der Anordnung abgesehen mit den P übereinstimmen, und die Häufigkeits- 

 zahlen Ù müssen entsprechend mit den a übereinstimmen. 



Die Idealklassen. 



. Satz 24. Isf A .t/'' .t.,"'^ ■ -.^ B jt/^ tt./^ • ■ • , so ist 'Ä^B. Umgekehrt, 

 ist A ^^ B , so gibt es solche iiicht-iicgative ganze rat. Zahkii a tiiid ß, daß 

 A .^/'» TT.:'-' ■ --^ B .t/'> :t/'' • • • ist. 



Beweis: 1st A .t/'^ ,t./'-^ • • • (|) = ^ .t/'» nj^^ • • ' ii]) , ^ und )] Zahlen in g, 

 so folgt nach den Sätzen 17 und 18 ~4if) = B'bj), d.h.~i^B. Um- 

 gekehrt folgt aus A {^) "= B ii) nach Satz 21 eine Gleichung der Form 



A Tt/'^ .-T./'^ • • • (I) = B Tl/' 7t/' ■ ■ ■ (>/). 



Satz 25. Es sei H die Gruppe der Idealklassen in g, die ans den 



Klassen, ivozii .t^ , jt.^, • • • gehören, erzeugt werden, ivdlirend G die Gruppe 



der Idealklassen überhaupt ist. Dann ist die Gruppe G der Idealklassen 



— G 



in g der Quotientgruppe — isomorph. 



H 



Beweis: Nach Satz 24 besteht ein Entsprechen der Idealklassen in g 

 und g derart, dafa Jeder Idealklasse in g eine eindeutig bestimmte Klasse 

 in g entspricht, während umgekehrt jeder Klasse in g alle diejenigen Klassen 

 in g entsprechen, welche aus einer unter ihnen durch Multiplikation mit 

 allen zu H gehörigen Klassen entstehen. Der Hauptklasse in g entsprechen 

 m ^- die Klassen in H. Hieraus folgt offenbar die Richtigkeit unserer 

 Bthauptung. 



Ist die Grupppe H die Einheitsgruppe, d. h. sind :i^ , n.^, • • • alle Haupt- 

 i_!.ale, so werden G und G isomorph; in diesem Falle tritt also beim Über- 



