1923- ^«C)- 21. INTEGRITÄTSBEREICHE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKüRPERN. I9 



gang von g zu g keine Reduktion der Gruppe der Idealklassen ein. Sonst 

 wird immer eine Reduktion eintreten. Der interessanteste Fall ist der, da 

 H = G ist, d. h. die ganze Gruppe G wird aus den Idealklassen erzeugt, 

 wozu .T^ , .T, , • • • gehören. In diesem Falle ist G die Einheitsgruppe, d. h. 

 in ^ ist dann jedes Ideal ein Hauptideal. 



Da die Gruppe G endlich ist, lassen sich immer endlich viele solche 

 Ideale .t^ , .t., • • • finden, dafà die dadurch gegebenen Idealklassen die ganze 

 Gruppe G erzeugen. Folglich kann man immer eine solche algebraisch- 

 gebrochene Zahl d zu g adjungieren, data der Ring g{if\ nur Hauptideale 

 enthält. Für die Zahlen in g{d) gelten also dann die gewöhnlichen Teil- 

 barkeitsgesetze. Außerdem ist nach Satz 15 jede Zahl in ^(»^1 (relativ zu 

 o-(»9|) einer Zahl in g assoziiert. 



Freilich wird man wohl in den meisten Fällen keinen eigentlichen 

 Nutzen aus diesen Tatsachen haben ; denn wenn man erreicht, daß die Zahl 

 der Idealklassen verringert wird, erhält man zum Ersatz neue „Einheiten", 

 auch solche deren Norm von + 1 verschieden ist. Immerhin scheint es 

 mir doch von Interesse zu sein auch diese Ringe g ebenso wie die Ringe o 

 im folgenden zu betrachten um eine vollständigere Theorie der Ringe in 

 den algebraischen Zahlkörpern zu bekommen. 



Beispiel : 



Ich setze 



3ß^ -^ 2d ^ 5 = , ff = -î 



und betrachte den Ring giif). Hier ist giif) = I \d\ (Siehe § 5); denn da 

 ^— 14 = 3*V — 1 , ist ^( »Vi in /(j9) enthalten und umgekehrt natürlich auch 

 I[d) in ^(«^1. Die Zahlen in g[{i) sind folglich der Form 



.Vn d" + .V„-i »V"' ^ • • ■ - .Vi i9 — .Vy, 



WO die Koeffizienten .v alle ganz rational sind. Nach einem späteren Satze 

 können diese Zahlen auch in der Form 





geschrieben werden, wenn die Zahlen a mittels der rekurrenten Gleichung 



ffn = — 2a„-\ — \ban-2< nebst a^ = 0, (1^ = 1 , 

 definiert sind. 



