TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Im Ringe g der ganzen Zahlen des Körpers ^ (V — 14) gelten die 

 Zerlegungen 



(— 1 + V^Ti) = (3, — 1 + V— 4) (5, — 1 + \- 14) ■ 



(3)= (3, — 1 + ]- 14) (3, - 1 — V- 14). 

 Folglich wird durch die Gleichung 



(5. - 1 -^ V- 14) 



id) 



(3, 1 +1- 14) 



■â als irreduzibler Idealbruch dargestellt. Da hier im Nenner bloi3 der eine 

 Primidealfaktor von 3 auftritt, nicht der andere davon verschiedene, so 

 gibt es in g{i^) nach Satz 12 keine gebrochene rationale Zahl. 



Da die vier in p- vorhandenen Idealklassen als Potenzen der durch 



(3,1 + ] — 14) gegebenen Klasse dargestellt werden können, muß nach 

 Satz 25 die Zahl der Idealklassen in gii^) gleich 1 sein. In g(i^) gelten 

 also für die Zahlen selbst die gewöhnlichen Teilbarkeitsgesetze. 



Den Primidealen in g entsprechen mg auch Primideale (Satz 22), wenn 

 eben das Ideal (3,1+1 — 14) ausgenommen wird, denn diesem Ideal 

 entspricht in g das Einheitsideal (Satz 18). 



Diejenigen natürlichen Primzahlen, für welche die Kongruenz 



X- + 14 = (mod. /)) 



nicht lösbar ist, bleiben auch Primzahlen in gii^). Diejenigen, für welche 

 diese Kongruenz lösbar ist, sind mit Ausnahme von 3 in ^(f*^) das Produkt 

 zweier Primzahlen ; diese beiden Primzahlen sind nur für 2 und 7 assoziiert. 

 Die Zahl 3 bleibt dagegen Primzahl in g{i)}. 

 Man hat z. B. 



5 = — ï^ (3 «9 + 2) 2 = — (1 — 3 (9)2 (,94 — 2ß — 2) 



\3 = {ß + 2)(— 3(9 + 4) 7 = (3(9 + 8)2 ((9^ — 2(9 — 2). 



1 - 2 (9 . . ,. . 

 (9* — 2 (9 — 2 = ist eine Einheit; denn 



27 



2(9\ 



(6(9 + 7) = 1. 



27 

 Überhaupt sind die Einheiten in ^((9) sämtliche Zahlen der Form 



+ (6(9 + if , 

 e ganz rational (Satz 13). 



