1923. Xn. 21. INTEGRITÄTSBEREICHE IN ALGEBRAISCHEN Z.\HLKÖRPERN. 2r 



§ 4. 



Die Ringe, welche aus einem in i/^ enthaltenen Ring o durch Adjunktion 

 einer oder mehrerer Zahlen entstehen. 



Ich benutze hier die Bezeichnungen des Modulkalkuls I Bachmann. All- 

 gemeine Arithmetik der Zahlenkörper, zweites Kapitell. 



Ich gehe von einem Ringe o aus, der nur einen Teil von g bildet, 

 während doch die ganzen rat. Zahlen in o vorkommen'. Aufaerdem soll o ein 



«-gliedriger Modul sein, wenn g //-gliedrig ist. Der Modul / = — , der 



sogenannte Führer des Ringes o , ist ein Ideal in g und enthält jedes Ideal 

 in g, das auch in o enthalten ist. Bekanntlich gelten für diejenigen Ideale 

 /in o, für welche i n- / ^ o ist, die gewöhnlichen Teilbarkeitsgesetze. Diese 

 Ideale / in o entsprechen ein-eindeutig denjenigen Idealen y in g, die zum 

 Führer / prim sind, d. h.y" — / — ^. Das Entsprechen wird durch das 

 gleichzeitige Bestehen der Gleichungen 



j = gi. i = j - o 



ausgedrückt (Bachmann, 1. c, S. 3681. 



Es sei / = .Tj'^* nj' • • • o^'^ o.,*^- • • • . die .t und die o lauter ver- 

 schiedene Primideale in if. Es werde eine Zahl *^ , i!*^ = — , <) und x teiler- 



fremde Ideale in ^, zu o adjungiert, y. = .Tj"* .Tj"^ • • • o^'"^ oj* • • ■ , die Prim- 

 ideale o von allen .t und allen o verschieden. Dann gibt es in g eine solche 

 Zahl T, dafà 



gT =//i. Il ein zu / teilerfremdes Ideal in g. 



D3. //i'^f-, folgt gr ^/^ o. Also mufe jedes Produkt tç, ç- beliebige 

 Zahl in ^, in o vorkommen; speziell ist t selbst eine Zahl in o. Weiter 

 gibt es ein zu /" primes Ideal /. in g, so dafe 



/. fTj^' • r,,J- • • • =^ go), (o eine Zahl in g. 



Kraft der Beziehung gr^o, mu6 r"" o ff , q beliebige Zahl in g, immer 

 eine Zahl in o sein. 



Es sei jetzt o der gemeinsame Bestandteil der Ringe o\d) und g\ 

 dann ist augenscheinlich auch o ein Ring. Nun ist 



' Wie früher bemerkt, betrachte ich hier nur solche Ringe, welche die ganzen rationalen 



Zahlen enthalten. 

 2 Die Schreibweise « ^ 6 bedeutet, daâ der Modul a durch den Modul b teilbar ist. 



