TH. SKOLEM. N.-N. Kl. 



Ich wähle ;// als eine solche ganze positive Zahl, dafs alle Differenzen 

 ;;/ ßr — «r ^ sind. Dann ist g t'" (o ß ein Hauptideal in g, dessen Zahlen 

 nach dem soeben bemerkten alle in o' vorkommen müssen. Folglich ist 

 g T™ fo »^ durch den Führer /' des Ringes o' teilbar. Dieser Führer mufe 

 von der Form 



/' = ;t/i' :r./^' . • • o,^'' o^^-^' ■ ■ ■ 



sein, wobei ßr ^ ßr , ^r ^ ^r , da o in o' enthalten ist. 



Wird aber jetzt ;;/ so klein als möglich gewählt, wenn alle Differenzen 

 ;;/ ßr — «r ^ sein sollen, so muß für mindestens ein r die Differenz 

 )ii ßr — Ur <C^ ßr Sein. Wäre nämlich für jedes r, m ßr — Ur^ßr, so wäre 

 auch für jedes ;-, (;;/ — • \) ßr — ar ^ , was der Voraussetzung über /// 

 zuwider ist. Da außerdem g t"' co â durch /' teilbar ist, mufs für mindestens 

 ein r, ß/ <^ ßr sein. 



Nun kann man aber die Betrachtung wiederholen, indem man vom 



Ringe o' statt o ausgeht. Außerdem ist o' {&) =^ o {û); denn man hat o^ o , 



w^oraus o [ß) ^ o' iß) und o '^ u [d], woraus o {&) > o {&) . Setzt man also 



o i^) — ^ = o", während /" der Führer von o" ist, so ist o = o und 



/ = y . Dann bekommt man 



wobei für jedes r, ß/' ^ ßr , und für mindestens ein r , ßr" <^ ßj • Dies 

 führt zu einem Wiederspruch, wenn nicht alle ßr ^ sind. Man erhält 

 also das Resultat, daf3 in /' die Primfaktoren jt nicht vorkommen kann. 

 Hierdurch ist folgender Satz bewiesen : 



Satz 26. DiDxJi Adjiinktion einer Zahl i) , ß — — , zu einem in g ent- 

 haltenen Ringe o mit dem Führer f, erhält maji immer denselben Ring, wie 

 durch Adjunktion von & zu einem eventuell unifassenderen auch in g ent- 

 haltenen Ringe o , dessen Führer f zu y. pritu ist. 



Kraft dieses Satzes braucht man also nur die Adjunktion solcher Zahlen 



If , g ß = — , zu einem Ringe o mit dem Führer/ zu betrachten, dafa x zw f 



X 



prim ist. 



Es mu6 aber bemerkt werden, dafe selbst bei solchen Adjunktionen oft 

 der Ring o[ß) — g umfassender wird als o. Ich erwähne hier ein ein- 

 faches Beispiel: Es sei der quadratische Körper K\\ — b) gegeben. Der 

 Ring g der ganzen Zahlen dieses Körpers ist der Modul (l,V — 5); der 

 kleinere Ring o sei der Modul (l,3V— s). Wird hier ß = ) — 5 zu o ad- 

 jungiert, entsteht g, d. h. o (ß) = g, und also o{ßj — g = g, umfassender 



als 0. Trotzdem ist n: ß als irreduzibler Idealbruch geschrieben = , 



wo sowohl Zähler wie Nenner zum Führer / = 3 des Ringes o prim sind. 



