1923. No. 21. INIEGRITÄTSBEREICHE IN ALGEBRAISCHEN ZAHLKÖRPERN. 23 



— Um diese X'erhältnisse näher zu untersuchen beweise ich zuerst fol- 

 genden Hilfssatz : 



Hilfssatz: Ist rj — — , uy und v) Zahlen in o, o (o -{- f = o , o Zahl 



in g, so ist o Zahl in o. 

 Beweis : Es ist nämlich 



o o -— [O O) + /) o ^= (O M + /) — = O (o' + fo . 



0) 



Außerdem 



(o' ^ , /o ^/ ^ o . 

 Folglich 



00^0, 



woraus folgt, dafs o eine Zahl in o ist. 



Es werde zu einem Ringe o eine Zahl ß adjungiert, g ß = —, o und y. 



teilerfremde Ideale in g< x +/= g- Dem Ideale y. entspricht dann ein 

 Ideal ^ in . Weiter gibt es ein Ideal k in o, so dafà kk = o (o , m eine 

 Zahl in o, oco +/= o. Es sei x' das k entsprechende Ideal in g. Dann 



ist X X = go) , da nämlich x ^ gk , y. ^ gk , g ^ go ist. Weiter ist gß = - — r, 



woraus o y.' ==^ g(& (o). Es werde ß oj = t gesetzt; t ist dann eine Zahl 



in P" und ti ^ — . 



Erstens kann sein, daß t nicht zu o gehört; dann ist also g — o iß) 

 umfassender als o. Zweitens kann sein, dafa t zu o gehört. Ist dann 



o T + / = , so ist ß = — ein Idealbruch in o . (Also o â = , wobei 



O) o CO 



T und o 0) beide Ideale in o sind.) Ist aber o t + / ^ o , so kann man 

 die Adjunktion von ß durch die Adjunktion einer anderen Zahl ß' ersetzen, 

 wobei ß' ein Idealbruch in o wird. Dies geschieht so : Man betrachtet die 

 Kongruenz in g 



o) ^ = \ — T (mod. /) , 



die in Bezug auf |^ in ^ sicher lösbar ist, da g m + / =" g sein mufe. Da 



1 — T eine Zahl in o ist und ebenso (o ^ — 1 + r , weil die letztere ja 

 in / vorkommt, das ganz in o enthalten ist, so ist (o ^ eine Zahl in o. 

 Da (I) auch zu o gehört und aulàerdem o o + / "= o , so folgt aus dem 

 Hilfssatz, dafe | zu o gehört. Setzt man dann 



ß' = ^+ ß, 



so ist o iß) = o(j^') , während ß' = — ein Idealbruch in o ist; denn 



(I) 



man hat (o ^ + t = 1 +9, 9 eine Zahl in /, woraus 



